Niet-euclidische meetkunde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Euclidische, elliptische en hyperbolische meetkunde. Aan het parallellenpostulaat wordt alleen in modellen van Euclidische meetkunde voldaan.

Niet-euclidische meetkunde is meetkunde waarbij het vijfde postulaat van Euclides (het parallellenpostulaat) niet wordt aangenomen.

Euclides ging bij zijn meetkunde uit van een aantal postulaten (axioma's). De meeste daarvan zijn eenvoudig, maar het vijfde vormt een uitzondering. Het postulaat heeft diverse vormen, maar de bekendste is waarschijnlijk "Gegeven een rechte l en een punt P dat niet op l ligt, dan is er in het vlak door l en P maar één rechte door P die l niet snijdt." (Euclides' oorspronkelijke vorm was gecompliceerder.)

Er zijn twee typen niet-euclidische meetkunde:

Overigens is het voor elliptische meetkunde nodig ook andere postulaten van Euclides aan te passen.

Lange tijd heeft men geprobeerd het parallellenpostulaat te bewijzen uit de andere axioma's, maar achteraf bleken alle bewijzen fout, doordat er ergens toch een 'evident' feit was gebruikt dat echter niet uit de overblijvende axioma's volgt, en dus equivalent was aan het parallellenpostulaat.

In de 19e eeuw werd de stap genomen het parallellenpostulaat te laten vallen. Drie wiskundigen: de Rus Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski (publicatie in 1829), de Hongaar János Bolyai (publicatie in 1832) en de Duitser Carl Friedrich Gauss (ongepubliceerd, maar voor 1832) ontdekten ieder voor zich de principes van de hyperbolische meetkunde. In 1733 had overigens Giovanni Saccheri al een flink aantal stellingen afgeleid, in een poging het parallellenpostulaat door middel van reductio ad absurdum te bewijzen. De elliptische meetkunde werd geïntroduceerd door Bernhard Riemann in 1854, als onderdeel van een veel grotere klasse van meetkunden (zie de Riemann-meetkunde).

Geschiedenis[bewerken]

Hoewel de Euclidische meetkunde, vernoemd naar de Oud-Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië, enkele van de oudste bekende wiskunde betreft, werden niet-Euclidische meetkunden pas halverwege de 19e eeuw voor het eerst als legitieme constructies geaccepteerd.

Het debat dat uiteindelijk tot de ontdekking van niet-Euclidische meetkunde leidde, gaat bijna net zo ver in de tijd terug als het moment dat het beroemdste werk van Euclides, de Elementen zelf werd geschreven. In zijn Elementen begon Euclides met een beperkt aantal veronderstellingen (23 definities, vijf gemeenschappelijke noties, en vijf postulaten) en stelde zich ten doel alle andere resultaten (proposities) in het werk zelf te bewijzen. Aan de meest beruchte van de postulaten wordt vaak gerefereerd als het "vijfde postulaat van Euclides", of gewoon het "parallellenpostulaat".