Niveauverzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de wiskunde is een niveauverzameling van een functie de verzameling van argumenten van , waarvoor een bepaalde waarde, een bepaald niveau heeft. Anders gezegd: een niveauverzameling van een functie is het inverse beeld van een bepaalde functiewaarde. Als een reëelwaardige functie is van variabelen, is de niveauverzameling voor het niveau gedefinieerd als

Een niveaukromme, contourlijn of isopleet is een niveauverzameling van een functie in twee variabelen, of een deel ervan: een niveauverzameling kan ook uit meerdere gesloten krommen bestaan, en/of krommen die tot het oneindige of de rand van het afgebeelde gebied lopen. Als de functie constant is binnen een niveaukromme, behoort dat gebied ook tot de betreffende niveauverzameling.

De isobaren in de meteorologie zijn een voorbeeld van contourlijnen.

Theorie[bewerken | brontekst bewerken]

Bij drie variabelen spreekt men over een niveauoppervlak. De niveauverzameling van een functie in meer dan drie variabelen wordt door een hyperoppervlak weergegeven.

Een verzameling van de vorm

wordt een subniveauverzameling van genoemd.

De volgende stelling legt verband tussen de gradiënt en een niveauverzameling.

Laat een functie in de variabelen zijn. Als differentieerbaar is, staat de gradiënt in het punt loodrecht op de niveauverzameling van in of is gelijk aan 0.

Bewijs voor

De niveauverzameling voor is

die kan worden beschreven door de impliciete functie bepaald door de relatie:

Als in ongelijk is aan 0, heeft de raaklijn aan de richtingscoëfficiënt:

,

Voor een punt op de raaklijn geldt dus:

,

waaruit blijkt dat de gradient in loodrecht staat op de niveauverzameling.

Als in , maar , kan dezelfde redenering gegeven worden door verwisseling van en .