Norm (Galoistheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de Galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de norm een afbeelding die elementen van een groter lichaam afbeeldt op een kleiner lichaam. De norm van een element van dit lichaam is het product van alle conjugaten van dit element.

Omdat dit normbegrip zich op wezenlijke punten onderscheidt van het begrip norm, zoals dit bijvoorbeeld wordt gebruikt in een genormeerde vectorruimte, spreekt men voor dit begrip in het Duitse taalgebied vaak van een lichaamsnorm, dit in tegenstelling tot de meer bekende vectornorm.

Definitie[bewerken]

Zij L een eindige uitbreiding van een lichaam K met Galoisgroep G = Gal(L/K). Voor een element α ∈ L is de norm (van L naar K) van α gedefinieerd als[1]

 N_{L/K}(\alpha) = \prod_{\sigma \in G} \sigma(\alpha).

Dit wil zeggen dat NL/K(α) gelijk is aan het product van de elementen die geconjugeerd zijn aan α. Voor elke α ∈ L geldt dat NL/K(α) een element is uit K. In het bijzonder stel dat L = \mathbb F_{q^m} een eindige Galois-uitbreiding is van K = \mathbb F_q. Dan geldt er: [2]

 N_{L/K}(\alpha) = \alpha \alpha^q \cdots \alpha^{q^{m-1}} = \prod_{i=0}^{m-1} \alpha^{q^i} = \alpha^{(q^m-1)/(q-1)}.

Neem als voorbeeld q = 3, m = 4 zodat K =  \mathbb F_3 en L =  \mathbb F_{81} , en α ∈ L. De geconjugeerde elementen van α worden gegeven door α2 en α3. Dan geldt er voor de norm:

 N_{L/K}(\alpha) = \alpha^{(3^4-1)/(3-1)} = \alpha^{40}. .

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  1. (en) Steven H. Weintraub, Galois Theory, Springer-Verlag 2009, 79-80
  2. (en) G.L. Mullen, C. Mummert, Finite fields and applications, AMS bookstore 2007, 15-19