Normaalvector

De normaalvector van een 3D-oppervlak in een punt is de normaalvector van het raakvlak door dat punt aan het oppervlak door dat punt.

Een normaalvector van een vlak is een vector verschillend van de nulvector die loodrecht staat op dat vlak. Een vlak heeft een lineaire combinatie in x,y,z: ax+by+cz+d=0. Een normaalvector heeft als richtingsgetallen diezelfde (a,b,c). Merk op dat dit alles uitgebreid kan worden naar een n-dimensionale ruimte.

De normaalvector van een 3D-oppervlak in een punt is de normaalvector van het raakvlak door dat punt aan het oppervlak door dat punt.

Het begrip normaalvector is uitbreidbaar naar hyperoppervlakken in hogere dimensies.

Gebruik

Normaalvectoren kunnen onder andere gebruikt worden:

• om het vlak te beschrijven (het aangrijpingspunt en de richting van de normaalvector definiëren het vlak);
• om de hoek tussen twee vlakken te berekenen, of de hoek tussen een vlak en een rechte;
• bij kring- en oppervlakteintegralen (bijvoorbeeld de wetten van Maxwell);
• bij 3D-visualisaties.

Berekenen

• Bij een vlak met vlakvergelijking $\ ax+by+cz+d=0$, is de (niet genormeerde) vector $\ n=[a,b,c]$ de normaalvector.

• Bij een driedimensionaal oppervlak dat beschreven wordt door een functie $f(s,t)$ staat de normaalvector n loodrecht op de parameterkrommen. Wat betekent dit? Omdat bij twee loodrechte vectoren geldt dat het inwendig product gelijk aan 0 is ($a.b=0$) betekent dat in dit geval dat het inwendig product van de normaalvector n met de partiële afgeleiden gelijk is aan 0, in formules:

${n} \cdot {f_s'(s,t)}=0$ en ${n}\cdot{f_t'(s,t)}=0$.

De normaalvector in zo'n oppervlak kan berekend worden door het kruisproduct van de twee partieel afgeleiden te nemen:

$n=f_s'(s,t) \times f_t'(s,t) \!$

• Indien het oppervlak impliciet wordt gedefinieerd $F(x,y,z)=0$, dan is de normaalvector in een punt $\frac{}{}[x_0,y_0,z_0]$ van het oppervlak de gradiënt in dat punt: $\nabla F(x_0, y_0, z_0)$

Bestaan

Uiteraard bestaat niet noodzakelijk overal een normaalvector, de kegel heeft in zijn top geen normaalvector.