Normaalvector

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De normaalvector van een 3D-oppervlak in een punt is de normaalvector van het raakvlak door dat punt aan het oppervlak door dat punt.

Een normaalvector van een vlak is een vector (verschillend van de nulvector) die loodrecht staat op dat vlak. Een vlak kan beschreven worden met een lineaire combinatie in x,y,z: ax+by+cz+d=0. Een normaalvector heeft als richtingsgetallen diezelfde (a,b,c). Evenwijdige vlakken hebben dezelfde normaalvectoren, de waarde voor d bepaalt de afstand van deze vlakken tot de oorsprong.

De normaalvector van een 3D-oppervlak in een punt is de normaalvector van het raakvlak door dat punt aan het oppervlak door dat punt.

Het begrip normaalvector wordt ook gebruikt hypervlakken en hyperoppervlakken in hogere, n-dimensionale, ruimtes.

Gebruik[bewerken]

Normaalvectoren kunnen onder andere gebruikt worden:

  • om het vlak te beschrijven (het aangrijpingspunt en de richting van de normaalvector definiëren het vlak);
  • om de hoek tussen twee vlakken te berekenen, of de hoek tussen een vlak en een rechte;
  • bij kring- en oppervlakte-integralen (bijvoorbeeld de wetten van Maxwell);
  • bij 3D visualisaties.
Normaalvector.png

Berekenen[bewerken]

  • Bij een vlak met vlakvergelijking \ ax+by+cz+d=0, is de (niet-genormeerde) vector \ n=[a,b,c] de normaalvector.
  • De genormeerde normaalvector (dat wil zeggen een vector met dezelfde richting, maar lengte 1) wordt verkregen door a, b en c te delen door de lengte van de vector (√a2+b2+c2). Een genormeerde normaalvector heeft niet drie maar twee onafhankelijke parameters. Als er twee bekend zijn kan de andere parameter uitgerekend worden.
  • Bij een driedimensionaal oppervlak dat beschreven wordt door een functie f(s,t) staat de normaalvector n loodrecht op de parameterkrommen. Wat betekent dit? Omdat bij twee loodrechte vectoren geldt dat het inwendig product gelijk aan 0 is (a.b=0) betekent dat in dit geval dat het inwendig product van de normaalvector n met de partiële afgeleiden gelijk is aan 0, in formules:
{n} \cdot {f_s'(s,t)}=0 en {n}\cdot{f_t'(s,t)}=0.
De normaalvector in zo'n oppervlak kan berekend worden door het kruisproduct van de twee partieel afgeleiden te nemen:
n=f_s'(s,t) \times f_t'(s,t) \!
  • Indien het oppervlak impliciet wordt gedefinieerd F(x,y,z)=0, dan is de normaalvector in een punt \frac{}{}[x_0,y_0,z_0] van het oppervlak de gradiënt in dat punt: \nabla F(x_0, y_0, z_0)

Bestaan[bewerken]

Uiteraard bestaat niet noodzakelijk overal een normaalvector, een kegel bijvoorbeeld heeft in zijn top geen normaalvector.

Externe link[bewerken]