Nuldeler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is een niet-nulzijnd element a van een ring een linker nuldeler als er een niet-nulzijnde b bestaat, zodat ab = 0. Rechter nuldelers zijn op analoge wijze gedefinieerd, dat is, een niet-nulzijnd element a van een ring is een rechter nuldeler, wanneer er een niet-nulzijnde c bestaat, zodat ca = 0. Een element dat zowel een linker als een rechter nuldeler is, wordt een nuldeler genoemd. Als de vermenigvuldiging binnen de ring commutatief is, dan zijn de linker en de rechter nuldeler aan elkaar gelijk. Een niet-nulzijnd element van een ring dat noch een linker, noch een rechter deler is wordt regulier genoemd.

Voorbeelden[bewerken]

  • De ring Z van de gehele getallen heeft geen nuldelers, maar in de ring Z × Z met paarsgewijze optelling en vermenigvuldiging, (0,1)·(1,0) = (0,0), zijn zowel (0,1) als (1,0) nuldelers.
  • In de factorring Z/6Z, is de klasse van 4, of 4 + 6Z, een nuldeler, aangezien 3 × 4 congruent is met 0 modulo 6.
  • Een voorbeeld van een nuldeler in de ring van de 2-bij-2 matrices is de matrix
\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}

omdat bijvoorbeeld

\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\
0&0\end{pmatrix}.
  • Meer in het algemeen vallen in de ring van n-bij-n matrices over een willekeurige veld de linker en de rechter nuldelers samen; zij zijn precies de niet-nulzijnde singuliere matrices. In de ring van de n-bij-n matrices over een willekeurig integriteitsdomein zijn de nuldelers precies de niet-nulzijnde matrices met determinant nul.
  • Hier volgt een voorbeeld van een ring met een element dat slechts aan een kant een nuldeler is. Laat S de verzameling zijn van sequenties van gehele getallen (a1, a2, a3...). Neem voor de ring alle additieve mappings van S op S, met puntsgewijze optelling en compositie als de ringbewerkingen. (Dat is, onze ring is End(S), de endomorfismen van de additieve groep S.) Drie voorbeelden van deze ring zijn de rechtsverschuiving R(a1, a2, a3,...) = (0, a1, a2,...), de linksverschuiving L(a1, a2, a3,... ) = (a2, a3,...), en een derde additieve map map T(a1, a2, a3,... ) = (a1, 0, 0, ... ). Alle drie van deze additieve mappings zijn ongelijk aan nul, en de samengesteld getallen LT en TR zijn allebei nul, zodat L een linker nuldeler is en R een rechter nuldeler is in de ring van de additieve mappings S op S. L is echter niet een rechter nuldeler en R niet een linker nuldeler: het samengesteld getal LR is de identiteit, zodat als een willekeurige additieve map f van S op S voldoet aan fL= 0 dan composing beide kanten van deze vergelijking aan de rechterkant met R laat zien dat (fL)R = f(LR) = f1 = f moet gelijk zijn aan 0, en op dezelfde wijze als een willekeurige f voldoet aan Rf = 0 dan composing beide kanten links met L laat zien dat f gelijk is 0.

Doorgaand met dit voorbeeld, merk op dat terwijl RL een linker nuldeler is ((RL)T = R(LT) is gelijk aan 0 omdat LT is), LR geen nuldeler is aan geen van beide kanten, dit omdat het de identiteit is.

Concreet gezien kunnen we de additieve mappings van S naar S interpreteren als aftelbare oneindige matrices. De matrix

A = \begin{pmatrix}
0      & 1 & 0      &0&0&\\
0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\
0 & 0 & 0 &1&0&\\
0&0&0&0&1&\\
&&\vdots&&&\ddots
\end{pmatrix}

realiseert L expliciet (pas de matrix toe op een vector en zie dat het effect precies een linksverschuiving is) en de transpose B = AT realiseert de rechtsverschuiving op S. Dat AB de eenheidsmatrix is, is hetzelfde als te zeggen dat LR de identiteit is. In het bijzonder als de matrices A een linker nuldeler, maar niet een rechter nuldeler is.

Eigenschappen[bewerken]

Linker of rechter nuldelers kunnen nooit eenheden vormen, omdat als a inverteerbaar is en ab = 0, dan 0 = a−10 = a−1ab = b.

Elk niet-nulzijnd idempotent element a ≠ 1 is een nuldeler, aangezien a2 = a impliceert dat a(a − 1) = (a − 1)a = 0. Niet-nulzijnde nilpotente ringelementen zijn ook triviale nuldelers.

Een commutatieve ring met 0 ≠ 1 en zonder nuldelers wordt een integriteitsdomein genoemd.

Nuldelers komen voor in de deelring Z/nZ dan en slechts dan als dit een samengesteld getal is. Wanneer n een priemgetal is, bestaan er geen nuldelers en is deze ring in feite een veld, aangezien elk element een eenheid is.

Nuldelers komen ook voor in de sedenionen, de 16-dimensionale hypercomplexe getallen onder de Cayley-Dickson-constructie.

Een verzameling van nuldelers is een vereniging van priemidealen.

Zie ook[bewerken]