Octonion

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Geheugensteuntje van Fano voor de octonionen

In de wiskunde zijn de octonionen een niet-associatieve uitbreiding van de quaternionen. Hun 8-dimensionale genormeerde delingsalgebra over de reële getallen is de meest uitgebreide vorm, die men met behulp van de Cayley-Dickson-constructie kan ontwikkelen. De octonionen algebra wordt vaak aangeduid met O, of in schoolbord vet door \mathbb{O}.

Misschien omdat zij geen associatieve vermenigvuldiging kennen, ontvangen de octonionen soms minder aandacht dan de quaternionen. Ondanks het gebrek aan populariteit, zijn de octonionen gerelateerd aan een aantal exceptionele structuren in de wiskunde, waaronder de exceptionele Lie-groepen. Daarnaast hebben octonionen toepassingen gevonden in andere gebieden zoals de stringtheorie, speciale relativiteitstheorie en kwantumlogica.

Geschiedenis[bewerken]

De octonionen werden in 1843 ontdekt door John T. Graves, een vriend van William Hamilton. Graves noemde hen octaven. Onafhankelijk werden zij ook ontdekt door Arthur Cayley, die een eerste artikel over octonionen publiceerde in 1845. Daarom verwijst men soms ook naar octonionen als Cayley getallen of als de Cayley algebra.

Definitie[bewerken]

De octonionen kunnen worden gezien als octetten (of 8-tupels) van reële getallen. Elke octonion is een reële lineaire combinatie van de eenheid octonionen {1, i, j, k, l, il, jl, kl}. Dat is, elk octonion x kan geschreven worden in de vorm

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.

met reële coëfficiënten xa.

Optelling van octonionen wordt bereikt door de corresponderende coëfficiënten op te tellen, zoals men dit ook doet met de complex getallen en de quaternionen. Door de lineairiteit, wordt de vermenigvuldiging van octonionen volledig bepaald door de onderstaande vermenigvuldigingstafel voor de eenheid octonionen.

1 i j k l il jl kl
i −1 k j il l kl jl
j k −1 i jl kl l il
k j i −1 kl jl il l
l il jl kl −1 i j k
il l kl jl i −1 k j
jl kl l il j k −1 i
kl jl il l k j i −1

De hier gegeven basis voor de octonionen is niet zo universeel als de standaard basis voor de quaternionen; bijna alle andere keuzes verschillen van de quaternionen alleen in orde en teken.

Cayley-Dickson-constructie[bewerken]

Een meer systematische manier om octonionen te definiëren is door gebruik te maken van de Cayley-Dickson-constructie. Net zoals quaternionen gedefinieerd kunnen worden als paren van complexe getallen, kunnen de octonionen gedefinieerd worden als paren van quaternionen. Optelling is paarsgewijs gedefinieerd. Het product van twee paren quaternionen (a, b) en (c, d) wordt gedefinieerd door

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})

waar z^{*} de geconjugeerde van de quaternion z voorstelt. Deze definitie is equivalent aan de definitie die hierboven wordt gegeven wanneer de acht eenheid octonionen als paren worden geïdentifceerd

(1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k)

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

Voor octonionen toegepast in de natuurkunde zie:

  • V. Dzhunushaliev, Toy Models of a Nonassociative Quantum Mechanics, Advances in High Energy Physics, vol. 2007, Article ID 12387, 10 pages, 2007. doi:10.1155/2007/12387; arXiv:0706.2398 [quant-ph].