Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, ook bekend als de ongelijkheid van Schwarz, de ongelijkheid van Cauchy of de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, is een stelling uit de lineaire algebra die stelt dat het inwendig product van twee vectoren van gegeven lengte absoluut gezien maximaal is als de vectoren in elkaars verlengde liggen. Dit wordt geformuleerd als: het kwadraat van het inwendig product van twee willekeurige vectoren x en y is ten hoogste gelijk aan het product van de inwendig producten van x met zichzelf en y met zichzelf. In formule:

|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

De ongelijkheid bestaat ook in een andere versie die gebruikmaakt van de door het inproduct geïnduceerde norm van de vectoren. Daartoe trekt men de wortel uit beide zijden van bovenstaande ongelijkheid:

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz is genoemd naar Augustin Louis Cauchy en Herrmann Amandus Schwarz.

Bewijs[bewerken]

Omdat de ongelijkheid triviaal waar is voor y = 0, mogen we aannemen dat <y, y> niet-nul is. Voor elk complex getal λ geldt dan:

 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle
= \langle x,x \rangle - \lambda \langle y,x \rangle - \overline\lambda \langle x,y \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.

Door de keuze

\lambda = \frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle}

krijgt men:

0 \leq \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle}

of anders geschreven:

|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle

of equivalent met de geïnduceerde norm:

\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|.

Bijzondere gevallen[bewerken]

De oorspronkelijke ongelijkheid van Cauchy had betrekking op het canonieke inproduct in een eindigdimensionale Euclidische ruimte. Voor eindige rijen reële of complexe getallen (xi) en (yi) wordt de formulering:

\big| \sum x_iy_i \big|^2 \le \sum|x_i|^2 \sum|y_i|^2.

De ongelijkheid blijft gelden voor oneindige rijen die kwadratisch absoluut sommeerbaar zijn.

Voor kwadratisch Lebesgue-integreerbare functies f en g luidt de ongelijkheid

\left|\int fg\right|^2\leq\int|f|^2\int|g|^2.

Driehoeksongelijkheid[bewerken]

In het bovenstaande gingen we er steeds van uit dat een inproduct een norm bepaalt. Om echter te weten dat het voorschrift

\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}

wel degelijk een norm definieert, moest de driehoeksongelijkheid geverifieerd worden. Dit kan eenvoudig aan de hand van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz door het inproduct van x+y met zichzelf uit te werken.