Ongelijkheid van Jensen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De ongelijkheid van Jensen is een stelling uit de kansrekening, genoemd naar de Deense wiskundige Johan Jensen.

Als X een integreerbare reële stochastische variabele is met waarden in het open interval (a,b), en f is een convexe reële functie op (a,b), dan geldt

f(E(X))\le E(f(X))

waarin E de verwachtingswaarde aangeeft.

Hierbij kan het rechterlid van de ongelijkheid eventueel oneindig zijn. De ongelijkheid blijft gelden als (a,b) een halve rechte of de hele reële as is (a=–∞ en/of b=+∞).

Voorbeelden van toepassing[bewerken]

De absolute waarde is een convexe functie, dus

|EX| \le E|X|

Algemener is voor r ≥ 1 de functie x\mapsto |x|^r convex, dus als 0<pq en f\in L^q, geldt

\left(E(|X|^p)\right)^{1\over p}\le \left(E(|X|^q)\right)^{1\over q}

Pas de ongelijkheid van Jensen toe op de stochastische variabele |X|^p en de convexe functie x\mapsto |x|^{q/p}.

Hieruit volgt dat in het bijzonder geval van een kansmaat, de Lp-ruimten een dalende ketting van verzamelingen vormen:

\ldots\supset L^p\supset L^q\supset\ldots\supset L^\infty