Ontaard (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het ontaard zijn van een meetkundige figuur houdt in dat de figuur als grensgeval andere eigenschappen heeft dan de typische verschijning van de figuur, en meestal tot een eenvoudiger soort figuur hoort.

Voorbeelden[bewerken]

  • Een punt kan worden opgevat als een ontaarde cirkel, namelijk een cirkel met een straal van 0.
  • Een ontaarde n-hoek is een veelhoek, waarvan de n hoekpunten op één lijn liggen.
  • Een lijnstuk kan worden opgevat als ontaarde rechthoek, waarvan twee zijden nul zijn.
  • Een lijnstuk kan ook worden opgevat als een tweehoek, dat is een ontaarde veelhoek. De twee zijden van een tweehoek zijn altijd even lang.
  • Een wig kan worden gezien als een ontaarde vierkante koepel

Kegelsnede[bewerken]

Een ontaarde kegelsnede bestaat uit een enkel punt of is de vereniging van twee rechte lijnen. Afhankelijk van de aard van deze lijnen vallen ze uiteen in drie categorieën:

  • de vereniging van twee snijdende reële rechten is een ontaarde hyperbool. Deze vinden we als we een kegel doorsnijden met een vlak door de top.
  • een lijn is een ontaarde parabool. Deze krijgen we als we een raakvlak door de top als snijvlak door een kegel nemen.
  • een punt met als snijvlak een ander vlak door de top van een kegel nemen, die de kegel verder niet snijdt. Zo is de kegelsnede een ontaarde ellips.

Een cirkel kan ook op andere manier ontaarden: een lijn kan opgevat worden als cirkel met oneindige straal.

Een ellips met excentriciteit 0 is als kromme een lijnstuk, of als geparametriseerde kromme een dubbel doorlopen lijnstuk.

Voorbeeld[bewerken]

Een hyperbool in het platte vlak wordt bijvoorbeeld gegeven door de verzameling van alle punten die aan de vergelijking x y = c voldoen, met c een reëel getal. Als we nu c → 0 nemen, vinden we x y = 0. De oplossingen hiervan zijn x = 0 en y = 0. De volledige oplossingsverzameling is dus de vereniging van de x-as en de y-as, met andere woorden, de vereniging van twee snijdende reële rechten.