Ontaard (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Het ontaard zijn van een meetkundige figuur houdt in dat de figuur als grensgeval andere eigenschappen heeft dan de typische verschijning van de figuur, en meestal tot een eenvoudiger soort figuur hoort.

Inhoud 1 Voorbeelden 2 Kegelsnede 2.1 Voorbeeld 3 Regelmatig veelvlak

[bewerken] Voorbeelden

• Een punt kan worden opgevat als een ontaarde cirkel, namelijk een cirkel met een straal van 0.
• Een ontaarde driehoek heeft drie collineaire punten.
• Een lijnstuk kan worden opgevat als ontaarde rechthoek (waarvan twee zijden nul zijn).
• Een lijnstuk kan ook worden opgevat als een tweehoek, dat is een ontaarde veelhoek. De twee zijden van een tweehoek zijn altijd even lang.
• Een wig kan worden gezien als een ontaarde vierkante koepel

[bewerken] Kegelsnede

Een ontaarde kegelsnede bestaat uit een enkel punt of is de vereniging van twee rechte lijnen. Afhankelijk van de aard van deze rechte lijnen vallen ze uiteen in drie categorieën:

• de vereniging van twee snijdende reële rechten is een ontaarde hyperbool. Deze vinden we als we een kegel doorsnijden met een vlak door de top.
• de vereniging van twee samenvallende reële rechten is een ontaarde parabool. Deze krijgen we als we een raakvlak door de top als snijvlak door een kegel nemen.
• We krijgen een punt als we als snijvlak een ander vlak door de top van een kegel nemen, die de kegel verder niet snijdt, zo vinden we een ontaarde ellips. Dit is ook op te vatten als de vereniging van twee complex geconjugeerde imaginaire rechten.

Een cirkel kan ook op andere manier ontaarden: een lijn kan opgevat worden als cirkel met oneindige straal.

[bewerken] Voorbeeld

Een hyperbool in het platte vlak wordt bijvoorbeeld gegeven door de verzameling van alle punten die aan de vergelijking x y = c voldoen, met c een reëel getal. Als we nu c → 0 nemen, vinden we x y = 0. De oplossingen hiervan zijn x = 0 en y = 0. De volledige oplossingsverzameling is dus de vereniging van de x-as en de y-as, met andere woorden, de vereniging van twee snijdende reële rechten.

[bewerken] Regelmatig veelvlak

Er bestaan vijf verschillende regelmatige veelvlakken. Hierbij zijn de ontaarde veelvlakken niet meegeteld. Er bestaan namelijk ook drie regelmatige oneindigvlakken (vlakvullingen van driehoeken, vierkanten of zeshoeken) en oneindig veel regelmatige tweevlakken (die bestaan uit twee congruente regelmatige veelhoeken op elkaar).