Ophopingspunt

In de wiskunde, meer bepaald in de analyse en de topologie, is één ophopingspunt, verdichtingspunt of limietpunt van een verzameling een punt (niet noodzakelijk tot de verzameling behorend) met in elke omgeving rond dat punt, hoe klein die omgeving ook is, oneindig veel punten van de verzameling. Punten van de verzameling hopen zich op in de buurt van het ophopingspunt; hoe dichter men het verdichtingspunt nadert, hoe dichter de punten van de verzameling opeen liggen. De verzameling moet natuurlijk een minimale structuur hebben, zodat van omgevingen kan worden gesproken. Ophopingspunten zijn dus gedefinieerd in topologische ruimten, of specifieker in metrische ruimten en Euclidische ruimten.

Getallenrij

Een (oneindige) rij reële getallen heeft altijd een of meer ophopingspunten. Is er slechts één ophopingspunt, dan is de rij convergent met het ophopingspunt als limiet. De kleinste (eigenlijk het infimum) van de ophopingspunten heet de liminf van de rij; de grootste (het supremum) heet limsup.

Definitie

Het punt $c$ heet ophopingspunt van de verzameling $A$ als in iedere omgeving van $c$ nog een punt van $A$ ligt, ongelijk aan $c$.

Als $A$ een deel is van de complexe getallen (of de reële getallen), kan de definitie in formule gegeven worden als:

Het getal $c$ heet ophopingspunt van de verzameling $A$ als:

$\forall\varepsilon > 0\ \exist\ a \in A: a \ne c \and |c-a|<\varepsilon$

Alternatief kan de definitie ook in termen van een rij worden gegeven:

Het punt $c$ heet ophopingspunt van de verzameling $A \subset \mathbb{C},$ als er een rij $(a_n)$ in $A$ bestaat, die naar $c$ convergeert en waarvoor geldt dat $\forall n: a_n \ne c$.

Voorbeelden

Hieronder staan enkele eenvoudige voorbeelden van ophopingspunten.

Voorbeeld 1: Eén ophopingspunt

Van de rij $(\frac{1}{n}), n\in \N, n \ne 0$ is 0 het ophopingspunt. Merk op dat zelfs voor extreem grote waarden van n de rij nooit de waarde van het ophopingspunt 0 bereikt.

Voorbeeld 2: Twee ophopingspunten

Een voorbeeld van meer dan één ophopingspunt is de rij $b$, met

$b_n=(-1)^n(1+\frac{1}{n}), n\in \N, n \ne 0$.

Deze rij heeft duidelijk twee convergente deelrijen: de deelrij van de even $n$ en de deelrij voor de oneven $n$. De deelrijen $q$ (bovenste rij) en $r$ (onderste rij) convergeren respectievelijk naar 1 en -1. De rij $(b_{n})$ heeft dus twee ophopingspunten.

$q_m=b_{2m}=1+\frac{1}{2m}$

$r_m=b_{2m-1}=-(1+\frac{1}{2m-1})$

Voorbeeld 3: Oneindig als ophopingspunt

De rij $(a_n), n\in \N, n\ne 0$ met $a_n=(-1)^nn$ bevat twee deelrijen $(q_m)$ voor de even indices en $(r_m)$ voor de oneven indices, die respectievelijk$+\infty$ en $-\infty$ als ophopingspunt hebben.

$q_m=a_{2m}=2m$

$r_m=a_{2m-1}=1-2m$