Oplossen van vergelijkingen

Het oplossen van vergelijkingen is een term uit de wiskunde. Het geeft aan hoe de waarde van een onbekende, vaak aangeduid met x, kan worden bepaald uit een of meer vergelijkingen.

Een vergelijking bestaat uit twee wiskundige uitdrukkingen die aan elkaar gelijk gesteld zijn.

Nulpunt

Wanneer van een functie f een nulpunt wordt gezocht, moet de vergelijking $f(x)=0 \,$ worden opgelost.

Algebraïsch getal

Een algebraïsch getal is een getal dat een nulpunt is van een polynoom met gehele coëfficiënten, dus een oplossing van een vergelijking van de vorm:

$a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x+ a_0 = 0\,,$

met n > 0 de graad van de polynoom en elke a_i een geheel getal, en a_n ongelijk aan 0.

Voor vergelijkingen van de graad tot en met vier zijn oplossingsmethoden bekend, zie bijvoorbeeld onder parabool voor het oplossen van een tweedegraadsvergelijking.

Oplossen van algebraïsche vergelijkingen

Algebraïsche vergelijkingen heten oplosbaar door middel van worteltrekking als het mogelijk is de oplossingen van deze vergelijkingen te berekenen door uitsluitend gebruik te maken van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en worteltrekking. Voor de vergelijkingen van graad een tot vier bestaan er inderdaad dergelijke oplossingsmethodes. Voor vergelijkingen van graad vijf of hoger bestaan zulke algemene oplossingsmethoden niet. Wel kunnen benaderingsmethodes gebruikt worden, of er kunnen speciale methodes gebruikt worden die op zijn minst in sommige gevallen resultaat opleveren.

Oplossingsmethode per type

Dat we weten dat elke n-degraadsveelterm n complexe wortels heeft, geeft nog geen expliciete uitdrukking voor die wortels.

Voor n = 1 is de oplossing eenvoudig: de veelterm ax + b (a ≠ 0) heeft de wortel −b/a.

Voor n = 2 wisten Arabische geleerden uit de Middeleeuwen al dat de veelterm ax² + bx + c (a ≠ 0) met reële coëfficiënten (een kwadratische functie) geen, een of twee reële wortels heeft al naargelang de discriminant $D=b^2-4ac$ negatief, 0 of positief is. In het algemene, complexe geval hebben de twee wortels de waarden

$x_{1,2}={{-b\pm\sqrt D}\over{2a}}$

(zie verder kwadratische vergelijking)

Voor n = 3 en n = 4 bestaan sinds de Renaissance gelijkaardige, zij het wat ingewikkelder, expliciete oplossingsmethoden - zie onder meer het artikel derdegraadsvergelijking. Lange tijd bleven wiskundigen zich het hoofd breken over de algemene oplossing van de vijfdegraadsvergelijking (aan de hand van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en worteltrekking), totdat Niels Henrik Abel bewees dat een dergelijke oplossing niet bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand van Galoistheorie.

Toepassingen en het oplossen van lineaire vergelijkingen

Voorbeeld: Gegeven is: $f(x) = 2x + 6 \,$ . Bereken het snijpunt A met de x-as.

• 1. In A geldt; f(x) = 0, dus:

$2x + 6 = 0\,$

• 2. Van beide kanten 6 aftrekken:

$2x + 6 - 6 = 0 - 6\,$

$2x = -6\,$

• 3. Beide kanten delen door 2:

$\frac{2x}{2} = \frac{-6}{2}\,$

$x = -3\,$

• 4. Controle:

$2(-3) + 6 = 0\,$

• 5. Conclusie:

De functie $f(x) \,$ snijdt de x-as in het punt A = (-3,0).

Deze manier van oplossen wordt ook wel de balansmethode genoemd. De waarde voor en achter het is-teken moet in balans blijven. Anders gezegd: er moet dezelfde berekening op worden toegepast.

Twee vergelijkingen met twee onbekenden

In de wiskunde gebruiken we vergelijkingen bijvoorbeeld om een kromme in een tweedimensionaal coördinatensysteem vast te leggen. Elk van beide lijnen wordt dan gerepresenteerd door een betrekking tussen de coördinaten x en y. Een snijpunt van de beide krommen heeft coördinaten x en y die aan beide betrekkingen voldoen. Dat levert twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y.

Met uitzondering van evenwijdige lijnen, hebben twee rechte lijnen altijd een snijpunt. Als we het snijpunt willen weten, kunnen we de grafiek tekenen, maar dat kost erg veel tijd en veel papier als het snijpunt erg "ver" ligt. Om het snijpunt te vinden is het handiger de twee vergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld (twee vergelijkingen met twee onbekenden)

De beide lijnen zijn gegeven door de betrekkingen: $y=3x-6$ en $y=x-5$. Om het snijpunt te vinden vatten we deze betrekkingen op als twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y, die nu de coördinaten van het snijpunt voorstellen:

$y = 3x - 6\,$

$y = x - 5\,$

Er zijn verschillende systematische oplossingsmethoden voor zulke vergelijkingen. Omdat hier voor y al twee uitdrukkingen staan, ligt het voor de hand om die aan elkaar gelijk te stellen en y te elimineren:

$3x - 6 = x - 5\,$,

waaruit direct volgt:

$x=\tfrac 12$.

Door deze waarde in te vullen in een van de beide vergelijkingen, vinden we:

$y = -4\tfrac 12$.

Het punt $(\tfrac 12, -4\tfrac 12)$ is dus het gezochte snijpunt.

Derdegraadsvergelijking

Het oplossen van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen gaat met behulp van symmetrische functies. Voor derdegraadsvergelijkingen leidt dit tot de formule van Cardano.