Orthogonaal

AB en CD zijn orthogonaal.

In de wiskunde zegt men van twee objecten dat zij orthogonaal (van het Griekse: oρθός (orthos), recht en γωνια (gonia), hoek) zijn, als zij ten opzichte van elkaar een rechte hoek vormen, of anders gezegd loodrecht op elkaar staan. Dit wordt wel aangegeven door het teken $\perp$ tussen de objecten te plaatsen. Ook van meer dan twee objecten zegt men dat zij orthogonaal zijn, als elk tweetal van deze objecten orthogonaal is. In de statistiek wordt met de term ook wel volledige afwezigheid van correlatie tussen twee variabelen bedoeld.

Inproduct

Voor objecten waarvoor een inproduct gedefinieerd is, wordt de hoek tussen deze objecten afgeleid van dit inproduct. Twee objecten met een inproduct gelijk aan 0 heten dan orthogonaal.

Vectoren

In de Euclidische meetkunde in n dimensies wordt het inproduct van twee vectoren x en y gedefinieerd door:

$\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n$.

Voor twee orthogonale vectoren x en y geldt dus:

$\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n=0$.

Zij staan dan in de gebruikelijke voorstelling loodrecht op elkaar. Zo zijn bijvoorbeeld in het platte vlak de vectoren (1,1) en (2,-2) orthogonaal. Evenzo de vectoren (1,3) en (6,-2). In de driedimensionale ruimte zijn bijvoorbeeld de vectoren (-1,1,1) en (2,1,1) orthogonaal.

Als het stelsel vectoren $(e_1,e_2,...)$ orthogonaal is en tevens elk van de vectoren de lengte 1 heeft, noemen we ze ook wel orthonormaal. Er geldt dan voor iedere i en j:

$\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 0 & \mbox{als } i \ne j \\ 1 & \mbox{als } i=j \end{cases}$

Een verwant begrip is het orthogonaal complement van een lineaire deelruimte.

Functies

Voor functies op een domein D kan het volgende inproduct gedefinieerd worden:

$\langle f,g\rangle = \int_D f(x)g(x) dx$.

Twee functies f en g zijn dan orthogonaal als:

$\int_D f(x) g(x) dx = 0\;$

Voor $D=[0,2\pi]\,$ is bijvoorbeeld:

$\int_{0}^{2\pi} \sin(x) \cos(x) dx = 0\,$,

dus zijn sin en cos orthogonaal.

Zie ook

• Orthonormaal
• Laguerre-polynoom
• Gram-Schmidtmethode