Orthonormale basis

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte, bestaande uit de vectoren \vec{e_1},\vec{e_2},... een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is.

Anders geformuleerd: een basis van vectoren \{ \vec{e_1},\vec{e_2},... \} heet orthonormaal, als voor het inwendig product van elk paar vectoren \vec{e_i} en \vec{e_j} geldt:

\vec{e_i} \cdot \vec{e_j} = 0 als i\neq j
\vec{e_i} \cdot \vec{e_i} = \| \vec{e_i} \|^2=1

Dit betekent dat \vec{e_i} \cdot \vec{e_j} = \delta_{ij}, de Kronecker-delta.

Nog anders geformuleerd, een basis van vectoren heet orthonormaal, als ze genormeerd en orthogonaal is.

Voorbeelden[bewerken]

De vectoren {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)} vormen een orthonormale basis van de 3D-ruimte
  • {(1,0),(0,1)} is een orthonormale basis van \mathbb{R}^2 met optelling en scalair product. Algemener is de standaardbasis {(1,0,0, ... ),(0,1,0,0, ... ), ...,(0,0, ...,1)} van \mathbb{R}^p met optelling en scalair product orthonormaal.
  • Het stelsel {fn : nZ} , met f_n(t)=e^{i n\omega t} vormt een orthonormale basis van de vectorruimte van de periodieke functies met periode T=2\pi/\omega en als inwendig product:
(f_n,f_m)=\frac 1T \int_0^T \overline{f_n(t)}f_m(t)\mathrm{d}t
Deze eigenschap wordt gebruikt bij de fourieranalyse.

Eigenschappen[bewerken]

De Gram-Schmidtmethode geeft een directe methode om een willekeurige basis om te vormen tot een orthonormale basis.

De kolommen (en rijen) van een n-dimensionale, orthogonale transformatie vormen een orthonormale basis van vectoren voor \mathbb{R}^n.

Toepassing[bewerken]

Elke vector van een vectorruimte met basis S heeft unieke coördinaten tegenover die basis. Indien de basis daarenboven orthonormaal is, kunnen die coördinaten afzonderlijk berekend worden door middel van het geldende inproduct. Men kan aantonen dat de i-de coordinaat van een vector u ten opzichte van de orthonormale basis S = \{..., s_i, ...\} gelijk is aan het inproduct van de u met de i-de basisvector:

u = \sum_i (u,s_i) \, s_i