Overdekking (topologie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een overdekking van een verzameling X een collectie van verzamelingen zodat X een deelverzameling van de vereniging van verzamelingen in de collectie is. In symbolen: als

C = \lbrace U_\alpha: \alpha \in A\rbrace

een geïndexeerde familie van verzamelingen Uα is, dan is C een overdekking van X als

X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}

Overdekking in de topologie[bewerken]

Overdekkingen worden veelal gebruikt in de context van de topologie. Als de verzameling X een topologische ruimte is, dan is een overdekking C van X een collectie van deelverzamelingen Uα van X, waarvan de vereniging de gehele ruimte X is. In dat geval zeggen we: C overdekt X, of ook de verzamelingen Uα overdekken X. Als Y een deelverzameling van X is, dan is een overdekking van Y een collectie van deelverzamelingen van X, waarvan de vereniging Y bevat, dat wil dus zeggen dat C een overdekking is van Y als

\bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha} \supseteq  Y

Laat C een overdekking van een topologische ruimte X zijn. Een deeloverdekking van C is dan een deelverzameling van C die X nog steeds overdekt.

We zeggen dat C een open overdekking is als elk van de lidmaten een open verzameling is (dat wel zeggen dat elke Uα is vervat in T, waar T de topologie op X is).

Van een overdekking op X wordt gezegd dat deze lokaal eindig is, als elk punt van X een omgeving heeft, die slechts een eindig aantal verzamelingen in de overdekking doorsnijdt. In symbolen, C = {Uα} is lokaal eindig als voor enige xX er enige omgeving O(x) op x bestaat, zodat de verzameling

\left\{ \alpha \in A : U_{\alpha} \cap O(x) \neq \varnothing \right\}

eindig is.

Van een overdekking op X wordt gezegd dat deze punt-eindig is als elk punt van X slechts in een eindig aantal verzamelingen in de overdekking is vervat.

Verfijning[bewerken]

Een verfijning van een overdekking C van X is een nieuwe overdekking D op X zodat elke verzameling in D is vervat in enige verzameling in C. In symbolen,

D = V_{\beta \in B}

is een verfijning van

U_{\alpha \in A} \qquad\mbox{wanneer}\qquad \forall \beta \ \exists \alpha \ V_\beta \subseteq U_\alpha.

Elke deeloverdekking is ook een verfijning, maar niet elke verfijning is een deeloverdekking.

Een deel-overdekking wordt opgebouwd uit verzamelingen die deel uitmaken van de overdekking, maar het zijn er minder; terwijl een verfijning wordt opgebouwd uit enige verzamelingen die deelverzamelingen van de verzamelingen in de overdekking zijn.

De verfijningsrelatie is een quasi-order op de verzameling van dekkingen op X.

Compactheid[bewerken]

De taal van de overdekkingen wordt vaak gebruikt om verschillende topologische eigenschappen te relateren aan het begrip compactheid. Van een topologische ruimte X wordt gezegd dat deze

  • compact is, als elke open overdekking een eindige deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een eindige verfijning heeft.
  • Lindelöf is, als elke open overdekking een telbare deel-overdekking heeft. Dit is equivalent aan de eis dat elke open overdekking een aftelbare verfijning heeft.
  • metacompact is, als elke open overdekking een punt-eindige open verfijning heeft.
  • paracompact is, als elke open overdekking een lokaal eindige, open verfijning toestaat.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene Introduction to Topology (Introductie tot de topologie), Second Edition, Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
  • (en) John L. Kelley, General Topology (Algemene topologie), D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.