Overleg:Constante van Champernowne

Kans op tweetallen enzovoorts

Beste Paul,

vroeg me net af: als losse cijfers een gelijke kans hebben, dan toch ook combinaties als tweetallen enzovoorts (vandaar de dus die je net weghaalde). Of niet? Kun je me dat uitleggen? Bedankt, Hansmuller 18 mrt 2010 21:01 (CET)

Dit gaat denk ik het beste met een tegenvoorbeeld. Neem een getal waarbij de cijfers steeds in paren voorkomen, bijv. 0,11223344556677889911001111112211331144... (dit getal is natuurlijk duidelijk afgeleid van de constante van Champernowne). Dan zal het paar [1, 1] beslist vaker voorkomen (in ongeveer 1 op de twintig paren) dan bijv. het paar [1, 2] (dat we nu slechts in ongeveer 1 op de tweehonderd paren tegenkomen). Niettemin komt ieder individueel cijfer met gelijke kans 1/10 voor. Het is wel belangrijk dat met "paar" twee opeenvolgende cijfers in de ontwikkeling worden bedoeld. Als we naar alle mogelijke paren kijken, dan is de verdeling van paren uiteraard wel uniform. Groet, paul b 18 mrt 2010 21:12 (CET)

Was blijkbaar niet duidelijk, aangepast. Hansmuller 18 mrt 2010 21:34 (CET)

Nee, er worden hier wel degelijk paren van opeenvolgende twee-, drie, enz-tallen bedoeld (een "blok" van cijfers dus), zie ook en:normal number (waar men over "substrings" spreekt). Het met gelijke waarschijnlijkheid voorkomen van deze twee-, drie-, enz.-tallen ("substrings" dus, "Ziffernblock" in de:Normale Zahl) is onderdeel van de definitie van een normaal getal en volgt niet uit het feit dat de afzonderlijke cijfers met gelijke waarschijnlijkheid voorkomen. paul b 18 mrt 2010 22:23 (CET)

Ja, ik ken de definitie waar ik naar verwijs, dat is de aardigheid van deze constante. Hebben we niet met een permutatie van alle mogelijke paren (tripletten enzovoorts) te maken zodat normaliteit volgt? Alle combinaties komen gelijkelijk aan de orde. Dat was mijn punt dat blijkbaar niet duidelijk was Hansmuller 22 mrt 2010 20:40 (CET)

PS Mogelijk komt het bewijs van Champernowne daarop neer - heb ik niet voorhanden.

Hier snap ik even niet wat je bedoelt. De definitie van normale getallen spreekt van "substrings" dan wel "Ziffernblocke", dus reeksen van cijfers zoals ze in het getal voorkomen en niet gepermuteerd (in het Engelstalige artikel vinden we dat vrij expliciet uitgewerkt). Het getal dat ik hierboven definieer, voldoet niet aan die definitie en is dus niet normaal. Tenzij de definities die gegeven worden, niet kloppen, natuurlijk, of ik iets volledig over het hoofd zie. MathWorld, [1], maakt onderscheid tussen getallen die "simply normal" ("enkelvoudig normaal"?) zijn, en die "normal" zijn (en spreekt daarbij van "finite pattern", waar ook geen permutaties aan te pas komen). Het getal hierboven is wel simply normal in grondtal 10 maar niet normal in grondtal 10. paul b 22 mrt 2010 20:54 (CET)

Madyno (overleg) 28 aug 2017 13:42 (CEST)

Kettingbreuk

De Engelse W. zegt:

The fact that there are such large numbers as terms of the continued fraction expansion is equivalent to saying that the convergents obtained by stopping before these large numbers provide an exceptionally good approximation of the Champernowne constant.

Dus afbreken vóór zo'n groot getal zou al een zeer goede benadering opleveren. In het lemma hier wordt juist afbreken vóór vergeleken met na.

De Franse:

Néanmoins, le fait qu'il existe de grands nombres comme parties du développement de la fraction continue veut dire que si nous prenons les termes au-dessus et au-dessous ces grands nombres, nous obtenons une bonne approximation excédentaire en comparaison du grand nombre que nous n'avons pas inclus.

Dus als je de "term" met een groot getal weglaat, is er toch een erg goede benadering.

Madyno (overleg) 28 aug 2017 21:13 (CEST)