Padé-benadering

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Padé-benadering van een analytische functie f(x) met Taylorreeks C(x) = \sum_{j=0}^{\infty} c_j x^j is een rationale functie die f benadert door een zo goed mogelijke overeenkomst met de eerste termen van de Taylorreeks.

Definitie en berekening[bewerken]

De Padé-benadering r_{m,n}(x) van f is een rationale functie r_{m,n}(x) = p_m(x) / q_n(x), waarin

 p_m(x) = p_0 + p_1 x + \dots  + p_m x^m
 q_n(x) = q_0 + q_1 x + \dots  + q_n x^n

p_m(x) en q_n(x) zijn veeltermen van ten hoogste graad m respectievelijk n. De Maclaurin-expansie van deze rationale functie moet exact overeenkomen met C(x) tot en met de macht m+n. Ze moet dus voldoen aan de asymptotische relatie

  p_m(x) / q_n(x) = C(x) + O(x^{m+n+1})

O(x^{m+n+1}) zijn termen met exponenten groter dan of gelijk aan m+n+1. Deze resttermen verwaarloost men zodat

p_m(x) = (\sum_{j=0}^{m+n} c_j x^j) q_n(x)

Uit deze vergelijking is het mogelijk om de coëfficiënten p_i en q_i te bepalen, door de coëfficiënten van de veeltermen in het linker- en rechterlid tot macht m+n gelijk te stellen. De termen met machten groter dan m+n worden genegeerd. Dit levert een stelsel van m+n+1 lineaire vergelijkingen op met m+n+2 onbekenden p_i, i = 0 \dots m en q_i, i=0 \dots n. Dit betekent dat het stelsel oneindig veel oplossingen heeft. Gewoonlijk eist men daarom dat q_n(0) = 1, of met andere woorden dat q_0 = 1. Dan is er een unieke oplossing van het stelsel


\begin{alignat}{2}
p_0 & = & c_0  &  \\
p_1 & = & c_1 + c_0 q_1 & \\
\cdots  & \\
p_m & = & c_m + c_{m-1} q_1 + \dots + c_0 q_m & \\
0 & = & c_{m+1} + c_m q_1 + \dots + c_{m-n+1} q_n & \\
\cdots & \\
0 & = & c_{m+n} + c_{m+n-1} q_1 + \dots + c_m q_n
\end{alignat}

waarbij  q_j = 0 als  j > n verondersteld is.

Tabel van Padé[bewerken]

Mits de aanname van de "normaalvorm" q_n(0) = 1 is er een unieke Padé-benadering voor elke waarde van m en n. Men kan bijgevolg een tabel maken waarin alle Padé-benaderingen r_{m,n}(x), m, n = 0, 1, 2, \dots zijn opgelijst. Die noemt men een Padé-tabel, hoewel het principe reeds door Ferdinand Georg Frobenius werd geformuleerd. Henri Padé werkte de theorie verder uit in zijn doctoraatsthesis Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles uit 1892 en in talrijke latere artikelen.

Voorbeeld[bewerken]

Als voorbeeld volgt hier het begin van de Padé-tabel voor de exponentiële functie met als reeksontwikkeling:

e^x = \sum_{i = 0}^{\infty} {x^i \over i!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
Padé-tabel m = 0 1 2 3
n = 0 1\;  1 + x\;  1 + x + \frac {x^2}2\;  1 + x + \frac {x^2}2 + \frac {x^3}6\;
1  \frac 1{1 - x}  \frac {1 + \frac 12x}{1 - \frac 12x}  \frac {1 + \frac 23 x + \frac 16 x^2}{1 - \frac 13x}  \frac {1 + \frac 34x + \frac 14x^2 + \frac 1{24}x^3}{1 - \frac 14x}
2  \frac 1{1 - x + \frac {x^2}2}  \frac {1 + \frac 13x}{1 - \frac 23x+ \frac 16x^2}  \frac {1 + \frac 12x + \frac 1{12}x^2}{1 - \frac 12x + \frac 1{12}x^2}  \frac {1 + \frac 35 x + \frac 3{20}x^2 + \frac 1{60}x^3}{1 - \frac 25x + \frac 1{20}x^2}
3  \frac 1{1 - x + \frac 12x^2 - \frac 16 x^3}  \frac {1 + \frac 14x}{1 - \frac 34x+ \frac 14x^2 - \frac 1{24}x^3}  \frac {1 + \frac 25x + \frac 1{20}x^2}{1 - \frac 35x + \frac 3{20}x^2 - \frac 1{60}x^3}  \frac {1 + \frac 12 x + \frac 1{10}x^2 + \frac 1{120}x^3}{1 - \frac 12x + \frac 1{10}x^2 - \frac 1{120}x^3}

Om bijvoorbeeld de Padé-benadering r_{2,2}(x) = \frac{ p_0 + p_1 x + p_2 x^2}{1 + q_1 x + q_2 x^2} te berekenen moeten we deze vergelijking oplossen:

 p_0 + p_1 x + p_2 x^2 = (1 + q_1 x + q_2 x^2)( 1 + x + {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6} + {x^4 \over 24})

Dit levert het volgende stelsel op:


\begin{alignat}{2}
p_0 & = & 1  &  \\
p_1 & = & 1 + q_1 & \\
p_2 & = & {1 \over 2}  +  q_1 +  q_2 & \\
0 & = & {1 \over 6} + {q_1 \over 2} + q_2 & \\
0 & = & {1 \over 24} + {q_1 \over 6} + {q_2 \over 2}
\end{alignat}


De oplossing hiervan is:

q_1 = -{1 \over 2}, q_2 = {1 \over 12}, p_0 = 1, p_1 = {1 \over 2}, p_2 = {1 \over 12}

De Padé-tabel heeft een aantal kenmerken:

  • De eerste rij, met de benaderingen r_{m,0}, m = 0, 1, \dots bestaat uit de opeenvolgende afkappingen (partiële sommen) van de Taylorreeks van de functie e^x. Deze convergeert naar e^x en dat geldt ook voor de volgende rijen; algemeen is \lim_{m \rightarrow \infty} {p_m(x) \over q_k(x)} = f(x) voor een willekeurige k.
  • De eerste kolom, met de benaderingen r_{0,n}, n = 0, 1, \dots bestaat uit de reciproken van de opeenvolgende afkappingen van de Taylorreeks van e^{-x}. Dit geldt algemeen: als {p_m(x) \over q_n(x)} de (m,n)-Padébenadering is van f(x), dan is {q_n(x) \over p_m(x)} de (n,m)-Padébenadering van {1 \over f(x)}
  • De benaderingen r_{m,n} en r_{n,m} vertonen symmetrie: de tellers en noemers zijn verwisseld, en het patroon van plus- en mintekens is anders, maar ze bevatten dezelfde coëfficiënten.
  • De Padé-benaderingen r_{n,n} op de hoofddiagonaal van de tabel bevatten, op het teken na, dezelfde coëfficiënten in teller en noemer. Deze kunnen zeer efficiënt berekend worden met een computeralgoritme.

Van elke formele machtreeks (die niet hoeft te convergeren) kan een Padé-tabel opgemaakt worden. Daarvoor zijn verschillende methoden ontwikkeld, waaronder het quotient difference-algoritme en technieken die gebruik maken van het enge verband tussen de Padé-tabel en kettingbreukexpansies van de machtreeks.[1][2] Er bestaan diverse relaties tussen naast elkaar liggende elementen uit de Padé-tabel die men kan gebruiken om de tabel stap voor stap op te bouwen.

Toepassingen[bewerken]

Rationale benaderingen van het Padé-type kennen vele toepassingen in diverse takken van zuivere en toegepaste wiskunde, zoals de berekening van speciale functies, inversie van Laplace-transformatie, differentiaalvergelijkingen of getaltheorie. Vele oplossingen van problemen uit de fysica, scheikunde, mechanica enz. zijn geformuleerd als een machtreeks die moet gesommeerd worden, maar waarvan slechts weinig coëfficiënten gekend zijn. Hier zijn rationale benaderingen goed bruikbaar.[3]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. J.H. McCabe. " The Quotient-Difference Algorithm and the Padé Table: An Alternative Form and a General Continued Fraction." Mathematics of Computation (1983), vol. 41 nr. 163, blz. 183-197.
  2. J.H. McCabe. "On the Padé Table for ex and the simple continued fractions for e and eL/M.
  3. Claude Brezinski. Preface, Journal of Computational and Applied Mathematics (1990), vol. 32 nr. 1-2, blz. 1 (voorwoord bij Special Issue on Extrapolation and Rational Approximation). DOI:10.1016/0377-0427(90)90410-2