Paraboloïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een paraboloïde is een kwadratisch oppervlak in drie dimensies. Er bestaan twee soorten paraboloïden, elliptische en hyperbolische. Ze worden beschreven volgens onderstaande relaties.


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 + 2z = 0 
(elliptische paraboloïde),

en


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 + 2z = 0 
(hyperbolische paraboloïde).
HyperbolicParaboloid.png ParaboloidOfRevolution.png
Hyperbolische paraboloïde Elliptische paraboloïde

De hyperbolische paraboloïde heeft de vorm van een zadel en de elliptische paraboloïde de vorm van een beker.

Toelichting[bewerken]

Elliptische paraboloïde[bewerken]

Voor de elliptische paraboloïde geldt dat de doorsnijding van de paraboloïde met een vlak evenwijdig aan het XOY-vlak een ellips is en de doorsnijding met een vlak evenwijdig aan XOZ-vlak of evenwijdig aan het YOZ-vlak, is een parabool. Wanneer a gelijk is aan b wordt de ellips evenwijdig aan XOY-vlak een cirkel en is de driedimensionale figuur een omwentelingslichaam: een omwentelingsparaboloïde. Deze wordt namelijk verkregen als een (2-dimensionale) parabool om de eigen symmetrie-as wordt gewenteld. De omwentelingsparaboloïde wordt gebruikt bij schotelantennes omdat alle evenwijdig inkomende stralen naar een brandpunt worden geleid en daar dus geconcentreerd kunnen worden opgevangen, net als bij een spiegeltelescoop. Ook bijvoorbeeld schijnwerpers, fietslampen en zaklantaarns gebruiken deze vorm maar dan omgekeerd. Vanuit een lichtpunt, het lampje, wordt een bundel licht via de parabolische spiegel weerkaatst.

Hyperbolische paraboloïde[bewerken]

Voor de hyperbolische paraboloïde geldt, dat het oppervlak beschreven kan worden met twee stelsels rechte lijnen.

x/a + y/b = uz
x/a - y/b = 2/u

en

x/a + y/b = 2/v
x/a - y/b = vz

waarin u en v reële parameters voorstellen. Elke rechte lijn van een stelsel kruist elke andere rechte lijn van hetzelfde stelsel en snijdt elke rechte lijn van het andere stelsel. Hieruit volgt, dat de vorm gemakkelijk - dus goedkoop - op te trekken is uit gewapend beton of met spankabels. De vorm is ook stevig, sierlijk, watert goed af en sneeuw glijdt eraf. Daarom vindt de vorm soms toepassing in overkappingen van b.v. sportstadions, treinstations of luchthavens en ook als vorm voor kunstmatige heuvels, bijvoorbeeld naast autosnelwegen.

HyperbolicParaboloid2.png ParaboloidOfRevolution2.png
Hyperbolische paraboloïde Elliptische paraboloïde

Toepassingen[bewerken]

  • Aangezien straling die evenwijdig aan de as invalt op een parabool, volledig gereflecteerd wordt door het brandpunt, bestaan "parabolische antennes", met de vorm van een paraboloïde (een rond zijn as geroteerde parabool). Op die manier worden de invallende stralen geconcentreerd.
  • Hetzelfde principe wordt gebruikt bij fietslampen en dergelijke. De lamp wordt in het brandpunt gezet van een omwentelingsparabool gemaakt van een spiegelende stof. Zo wordt al het licht dat niet rechtstreeks naar voren gaat, weerkaatst. Alle uitgaande lichtstralen zullen evenwijdig zijn.
  • Het oppervlak van vloeistoffen in een dun cirkelvormig buisje nemen door capillariteit de vorm van een paraboloïde aan. Bij sommige vloeistoffen bemoeilijkt dit het aflezen van thermometer.
  • Het oppervlak van vloeistoffen in een roterend vat neemt bij rotatie van dat vat een parabolische vorm aan, ten gevolge van de centrifugaalkracht.

Zie ook[bewerken]