Parallellogram van Varignon

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
IJKL is het parallellogram van Varignon van ABCD.

Bij een willekeurige vierhoek vormen de middelpunten van de zijden een parallellogram. Dit parallellogram noemt men het parallellogram van Varignon, naar de Franse wiskundige Pierre Varignon (1654-1722). De stelling die het bestaan van dit parallellogram beschrijft noemt men de stelling van Varignon.

Het bewijs van deze stelling is eenvoudig. Stel de hoekpunten van de vierhoek zijn ABCD. Het lijnstuk IJ dat de het midden I van AB en het midden J van BC verbindt, is evenwijdig met AC. Dus is het lijnstuk KL dat de middens van L van AD en K van CD verbindt, evenwijdig met IJ. Evenzo zijn IL en JK evenwijdig, en dus is IJKL een parallellogram.

Bij een gegeven parallellogram zijn er oneindig veel vierhoeken die deze als parallellogram van Varignon hebben, hieronder zijn zelfs oneindig veel koordenvierhoeken. De middelpunten van de omgeschreven cirkels van deze koordenvierhoeken liggen op de gelijkzijdige hyperbool, die omgeschreven is aan het gegeven parallellogram.

Afbeeldingen[bewerken]

Diverse vierhoeken met het bijbehorende parallellogram van Varignon

Convexe vierhoek Inspringende vierhoek Gekruiste vierhoek

Varignon theorem convex.png

Varignon theorem nonconvex.png

Varignon theorem crossed.png

Eigenschappen[bewerken]

Voor een convexe vierhoek geldt:

  • De omtrek van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de som van de lengten van de diagonalen van de oorspronkelijke vierhoek.
  • De oppervlakte van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de oorspronkelijke vierhoek.
Bronnen, noten en/of referenties