Parallellogram van Varignon

IJKL is het parallellogram van Varignon van ABCD.

Bij een willekeurige vierhoek vormen de middelpunten van de zijden een parallellogram. Dit parallellogram noemt men het parallellogram van Varignon, naar de Franse wiskundige Pierre Varignon (1654-1722). De stelling die het bestaan van dit parallellogram beschrijft noemt men de stelling van Varignon.

Men kan deze stelling bewijzen langs algebraïsche weg. Stel de hoekpunten van de vierhoek zijn ABCD met Cartesische coördinaten (x_A, y_A), (x_B, y_B), (x_C, y_C), (x_D, y_D). De middelpunten van de zijden AB, BC, CD en DA noemen we I, J, K en L. Ze hebben als coördinaten: ((x_A+x_B)/2, (y_A+y_B)/2), ((x_B+x_C)/2, (y_B+y_C)/2), ((x_C+x_D)/2, (y_C+y_D)/2), ((x_A+x_D)/2, (y_A+y_D)/2). De diagonalen van de vierhoek IJKL zijn IK en JL. De coördinaten van het middelpunt van IK zijn ((x_A+x_B+x_C+x_D)/4, (y_A+y_B+y_C+y_D)/4). Voor het middelpunt van JL vindt men dezelfde coördinaten. De twee diagonalen snijden elkaar dus in hun middelpunt, wat betekent dat IJKL een parallellogram is.

Bij een gegeven parallellogram zijn er oneindig veel vierhoeken die deze als parallellogram van Varignon hebben, hieronder zijn zelfs oneindig veel koordenvierhoeken. De middelpunten van de omgeschreven cirkels van deze koordenvierhoeken liggen op de gelijkzijdige hyperbool, die omgeschreven is aan het gegeven parallellogram.

Afbeeldingen

Diverse vierhoeken met het bijbehorende parallellogram van Varignon

Convexe vierhoek	Inspringende vierhoek	Gekruiste vierhoek

Eigenschappen

Voor een convexe vierhoek geldt:

• De omtrek van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de som van de lengten van de diagonalen van de oorspronkelijke vierhoek.

• De oppervlakte van het parallellogram van Varignon is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de oorspronkelijke vierhoek.

Bronnen, noten en/of referenties Bataille, M. (2007) "Cyclic Quadrilaterals with Prescribed Varignon Parallelogram", Forum Geometricorum, jrg. 7 pp. 199-206.