Pareto-verdeling

De Pareto-verdeling is een continue kansverdeling genoemd naar de Italiaanse econoom Vilfredo Pareto. De verdeling is van toepassing op een groot aantal praktijksituaties. De verdeling wordt ook wel Bradford-verdeling genoemd. Oorspronkelijk gebruikte Pareto deze verdeling als model voor de verdeling van rijkdom. Het Paretoprincipe, bekend als de "80-20"-regel, zegt dat 20% van de bevolking 80% van de rijkdom bezit. De Pareto-verdeling is geschikt om zo'n situatie te beschrijven. Het principe is ook op andere situaties van toepassing, zoals:

• de frequentie van de woorden in tekst (slechts een klein aantal woorden vormt het grootste deel van de tekst)
• de omvang van menselijke nederzettingen.
• de grootte van bedrijven (een klein aantal grote bedrijven, een groot aantal kleine)

Definitie

De Pareto-verdeling met parameters a>0 en λ>0 is een continue kansverdeling, gedefinieerd voor x>a en waarvan de overschrijdingskansen gegeven worden door:

$P(X>x)=\left(\frac ax\right)^\lambda.$

De verdelingsfunctie wordt dus voor x>a gegeven door:

$F(x;a,\lambda)=P(X\le x)=1-\left(\frac ax\right)^\lambda$

en de kansdichtheid voor x>a door:

$f(x;a,\lambda)=\left(\frac{\lambda}{a}\right)\left(\frac ax\right)^{\lambda+1}.$

Daarin is X een toevalsvariabele met de bedoelde verdeling.

Verwachtingswaarde en variantie

De verwachtingswaarde μ van de Pareto-verdeling is:

$\mu = \begin{cases}\displaystyle a \frac{\lambda}{\lambda-1} & \lambda > 1\\ \infty & \lambda \leq 1 \end{cases}$.

en de variantie:

$\sigma^2 = \begin{cases}\displaystyle a^2 \frac{\lambda}{(\lambda-1)^2(\lambda-2)} & \lambda > 2 \\ \infty & \lambda \leq 2 \end{cases}$.

Verband met de exponentiële verdeling

De Pareto-verdeling staat in direct verband met de exponentiële verdeling. Als de stochastische variabele X exponentieel verdeeld is met parameter λ, heeft e^X een Pareto-verdeling met parameters a=1 en λ, immers, voor y>1 is:

$P(e^X<y)=P(X\le \log(y))=1-e^{-\lambda \log(y)}=1-\left(\frac 1y\right)^\lambda$

Een Pareto-verdeling met een parameter a ≠ 1 staat op analoge wijze in verband met een opgeschoven exponentiële verdeling.

Zie ook

• Power-law
• Zipf's verdeling
• Complexe netwerken

Referenties

• Newman, M. E. J. (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Contemporary Physics 46: 323–351. DOI:10.1080/00107510500052444.