Partiële integratie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de integraalrekening is partiële integratie een techniek om integralen te berekenen of om een primitieve functie van een gegeven functie te bepalen. De regel legt een verband tussen de integraal van een product van twee functies en de integraal van het product van de afgeleide van de ene functie en een primitieve van de andere functie. De methode is een direct gevolg van de productregel voor afgeleiden en is vooral van toepassing wanneer de integrand geschreven kan worden als een product van twee functies.

Stelling[bewerken]

Als f en g twee differentieerbare functies zijn met afgeleiden f' en g' , dan geldt:

\int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx}  = \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]_a^b  - \int_a^b {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx}

Merk op dat deze formule aanleiding geeft tot een nieuwe integraal: de methode heeft slechts zin indien de integraal van f'(x)g(x) eenvoudiger te bepalen is dan de oorspronkelijke integraal van f(x)g'(x). De methode kan ook gebruikt worden om een primitieve te bepalen, de formule neemt dan de volgende vorm aan:

\int {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right)g\left( x \right)  - \int {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx}

Deze formule wordt wel verkort geschreven als::

\int f\,dg  = fg  - \int g\,df

Afleiding[bewerken]

De afgeleide van het product van twee differentieerbare functies f en g wordt gegeven door de productregel:

\left( f(x) g(x) \right)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Integreer beide leden van a tot b:

\int_a^b \left( f(x) g(x) \right)' \,dx = \int_a^b f'(x)g(x)\,dx  + \int_a^b f(x)g'(x)\,dx

Toepassen van de hoofdstelling van de integraalrekening leidt tot de formule van partiële integratie:

\left[ f(x) g(x) \right]_a^b = \int_a^b f'(x)g(x)\,dx  + \int_a^b f(x)g'(x)\,dx

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

We proberen de onbepaalde integraal

\int x\cos (x) \,dx

in gesloten vorm te vinden met behulp van partiële integratie. We vatten cos(x) op als de afgeleide van sin(x), dus:

\int x\cos (x)\,dx =\int x\sin'(x)\ dx

en kunnen nu gebruikmaken van de bovengenoemde formule, met f(x)=x en g(x)=sin(x). Er volgt:


\begin{align}
  \int x\cos (x)\,dx & = \int x\sin'(x) \, dx \\
  & = x\sin(x) - \int \sin(x)\, dx \\
  & =  x\sin(x) + \cos(x)+C \\
\end{align}
\!

Voorbeeld 2[bewerken]

In het vorige voorbeeld was een van de functies in het product f(x)=x, die als het ware verdwijnt. Partiële integratie is ook handig wanneer een positieve gehele macht van x in de integrand voorkomt in combinatie met bijvoorbeeld goniometrische of exponentiële functies, zoals in:

\int x^3 e^{-x} dx en \int x^2 \sin(x)dx

Herhaaldelijk toepassen van partiële integratie zal bij een gepaste keuze van f en g de macht van x telkens verlagen. De hoop is dan dat de resterende integraal gemakkelijk oplosbaar is.


\begin{align}
  \int_0^\infty x^3 e^{-x}\,dx & =-\int_0^\infty x^3 \,de^{-x} = -\left[x^3e^{-x}\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-x} \, dx^3 \\
  & = 3\int_0^\infty x^2 e^{-x} \, dx  = -3\int_0^\infty x^2 de^{-x} = -3\left[x^2e^{-x}\right]_0^\infty+3\int_0^\infty e^{-x}\, dx^2 \\
  & = 3\cdot2\int_0^\infty x e^{-x} \, dx=-6\int_0^\infty x \, de^{-x} = -6\left[xe^{-x}\right]_0^\infty+6\int_0^\infty e^{-x}\, dx \\
  & = 6
\end{align}
\!

Voorbeeld 3[bewerken]

Een andere vaak voorkomende truc om sommige integralen te bepalen is de te integreren functie te beschouwen als een product van 1 met zichzelf. Dit kunnen we toepassen om de integraal van ln(x) te berekenen. We passen de regel rechtstreeks toe met f(x) = ln(x) en g(x) = x zodat g'(x) = 1:


\begin{align}
  \int \ln \left( x \right) \cdot 1 \,dx & = x\ln \left( x \right) - \int {x \, d\left( {\ln \left( x \right)} \right)} \\
  & = x\ln \left( x \right) - \int {x\frac{1}{x} \, dx } \\
  & = x\ln \left( x \right) - \int {1\,dx } \\
  & = x\ln \left( x \right) - x + C \\
\end{align}
\!

Voorbeeld 4[bewerken]

Een andere mogelijkheid om sommige integralen te berekenen is het herhaaldelijk toepassen van partiële integratie tot de oorspronkelijke integraal opnieuw verkregen wordt. Volgend voorbeeld illustreert deze methode door tweemaal partiële integratie toe te passen.


\begin{align}
  \int_{-\pi}^{\pi} e^{x} \cos(x) \,dx & = \left[ \sin(x) e^x \right]_{-\pi}^\pi - \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) e^{x} \,dx \\
  & =  \left[ \cos(x) e^x \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} e^{x} \cos(x) \, dx  \\
  & = \left( - e^{\pi} + e^{-\pi} \right) - \int_{-\pi}^{\pi} e^{x} \cos(x) \, dx  \\
\end{align}
\!

De integraal wordt nu eenvoudig bepaald door de verkregen integraal in het rechterlid van lid te verwisselen en te delen door 2:

\int_{-\pi}^{\pi} e^{x} \cos(x) dx = \frac{-e^{\pi} + e^{-\pi}}{2} = \sinh(-\pi) = - \sinh(\pi)

Zie ook[bewerken]