Partitie (verzamelingenleer)

Een partitie van een verzameling in zes delen weergegeven door een Euler-diagram

In de verzamelingenleer is een partitie van een verzameling, een opdeling van die verzameling in niet-lege onderling disjuncte delen.

Zij $\mathcal{P}\subset2^A$ een familie deelverzamelingen van $A$, dan is $\mathcal{P}$ een partitie van $A$ als:

1. $\emptyset\notin\mathcal{P}$
2. $\forall D,E\in\mathcal{P}:D\neq E\implies D\cap E=\emptyset$
3. $\cup\mathcal{P}=A$

De elementen van $\mathcal{P}$ zijn de klassen of blokken van de partitie.

Voorbeelden

Zij $A=\{1,2,3,4\}$ dan is $\{\{1,2\},\{3\},\{4\}\}$ een partitie van $A$. De familie $\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\}\}$ is geen partitie omdat de leden niet onderling disjunct zijn. De familie $\{\{1\},\{3\},\{4\}\}$ is geen partitie van $A$ omdat de vereniging van de leden niet heel $A$ oplevert.

Het paar bestaande uit enerzijds de verzameling der even getallen, en anderzijds de verzameling der oneven getallen, vormt een partitie van de verzameling $\mathbb{Z}$ der gehele getallen. Algemener vormen de restklassen bij deling door een natuurlijk getal $n>0$, een partitie van $\mathbb{Z}$.

De lege familie is de enige partitie van de lege verzameling.

Als $R$ een equivalentierelatie is op een verzameling $A$, dan vormen de deelverzamelingen van $A$ die bestaan uit onderling $R$-equivalente elementen, samen een partitie van $A$. Natuurlijk kan elke partitie op deze manier geïnterpreteerd worden, door als relatievoorschrift "ligt in dezelfde klasse" te nemen.