Pi (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Het getal pi is de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel. Dit getal is ongeveer 3,14159 ... en wordt voorgesteld door de Griekse kleine letter π (pi), hiernaast vergroot afgebeeld.

De wiskundige constante π is een irrationaal getal (het is zelfs transcendent). Dit houdt in dat π niet als een verhouding van twee hele getallen te schrijven is en dat in de decimale voorstelling geen zich herhalend patroon voorkomt. De waarde van π kan daarom in decimale notatie alleen benaderd worden, want de reeks cijfers achter de komma is oneindig lang.

Let op: de hoofdletter Π betekent in de wiskunde iets anders: een product.

[bewerken] Definitie

Het symbool π komt uit het Griekse alfabet en is de kleine letter p van het Griekse woord περίμετρος (Engels: perimeter), hetgeen omtrek betekent. Het wordt vooral gebruikt voor het getal pi. Dit getal heeft oneindig veel cijfers achter de komma zodat het niet is op te schrijven. Pi is evenmin in breuken uit te drukken. In de wiskunde heet zo'n getal een irrationaal getal.

Pi uitgelegd door middel van een animatie.

π is van fundamenteel belang als de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel. De diameter van een cirkel is makkelijk te meten (bijvoorbeeld met een liniaal, of met een schuifpasser/schuifmaat) in tegenstelling tot de omtrek, omdat die niet recht is.

De onderstaande animatie toont hoe π gedefinieerd is. De diameter wordt 1 genomen. Als de cirkel is afgerold, blijkt de omtrek van de cirkel precies de diameter maal π te zijn, dus hier π.

Voor hoofdrekenen is 3,14 (drie komma veertien) meestal goed genoeg. Als het preciezer moet, hebben de meeste rekenmachines π als knopje, waarachter doorgaans π in 8 tot 30 decimalen opgeslagen is.

[bewerken] Toepassingen in de meetkunde

In de meetkunde hebben formules waarin π voorkomt meestal met een cirkel, ellips of bol te maken. De volgende formules kunnen gebruikt worden om met behulp van de straal (of halve assen) van een meetkundig object de andere grootheden uit te rekenen.

Cirkel met straal r

Ellips met halve assen a en b

Cirkel met straal r

hoek 360° = 2 π rad

omtrek O = 2

π

r

oppervlakte A =

π

r ²

Ellips met halve assen a en b

Oppervlakte A =

π

a b

Bol met straal r

oppervlakte A = 4

π

r ²

inhoud V = (4/3)

π

r ³

Cilinder met straal r en hoogte h

volume V =

π

r ² h

oppervlakte A = 2

π

r ² + 2

π

r h

Kegel met grondvlakstraal r en hoogte h

volume V = (1/3)

π

r ² h

oppervlakte A =

π

r (r + √ (h ² + r ²) )

[bewerken] Benaderingen

[bewerken] In enkele decimalen

Er bestaan verschillende benaderingen voor π:

22/7 = 3,142857... (een eenvoudige benadering).
355/113 = 3,14159292... (al een wat betere benadering) het getal van Metius.
3 + 4/28 – 1/(790 + 5/6) = 3,1415926539 ..., gebruik makend van de tien cijfers 0 tot en met 9. ^[1]
$\pi^4\simeq 2143/22$ , van Srinivasa Aaiyangar Ramanujan, omschreven als:

Neem het getal "1234".

Draai tweemaal twee cijfers om, zodat het getal "2143" ontstaat.

Deel dat getal door tweeëntwintig (2143 / 22 = 97,40909 09 ...).

Neem van het resultaat tweemaal de tweedemachtswortel.

De uitkomst is het getal: 3,1415926526 ...

Beide laatste dicht bij π = 3,1415926536 ... in tien decimalen.

[bewerken] In 1000 decimalen

Het getal π is niet exact in decimalen weer te geven. De benadering van π in 1000 decimalen is :

3,14159 26535 89793 23846 26433  83279 50288 41971 69399 37510
  58209 74944 59230 78164 06286  20899 86280 34825 34211 70679
  82148 08651 32823 06647 09384  46095 50582 23172 53594 08128
  48111 74502 84102 70193 85211  05559 64462 29489 54930 38196
  44288 10975 66593 34461 28475  64823 37867 83165 27120 19091

  45648 56692 34603 48610 45432  66482 13393 60726 02491 41273
  72458 70066 06315 58817 48815  20920 96282 92540 91715 36436
  78925 90360 01133 05305 48820  46652 13841 46951 94151 16094
  33057 27036 57595 91953 09218  61173 81932 61179 31051 18548
  07446 23799 62749 56735 18857  52724 89122 79381 83011 94912

  98336 73362 44065 66430 86021  39494 63952 24737 19070 21798
  60943 70277 05392 17176 29317  67523 84674 81846 76694 05132
  00056 81271 45263 56082 77857  71342 75778 96091 73637 17872
  14684 40901 22495 34301 46549  58537 10507 92279 68925 89235
  42019 95611 21290 21960 86403  44181 59813 62977 47713 09960

  51870 72113 49999 99837 29780  49951 05973 17328 16096 31859
  50244 59455 34690 83026 42522  30825 33446 85035 26193 11881
  71010 00313 78387 52886 58753  32083 81420 61717 76691 47303
  59825 34904 28755 46873 11595  62863 88235 37875 93751 95778
  18577 80532 17122 68066 13001  92787 66111 95909 21642 01989

[bewerken] De geschiedenis van pi

[bewerken] Oudheid

In de praktijk van de berekening van omtrekken en oppervlakten van cirkels heeft men al vroeg in de oudheid schattingen gemaakt. In Babylonië gebruikte men in de 19de eeuw voor Christus voor π de waarde 25/8 = 3,125, die er ongeveer 0,53 % naast zit.

In het oudst bekende rekenboek ter wereld, het Rhind-papyrus van de Egyptenaar Ahmose, staat voor π de benadering (16/9)² (= 3,1604...) met een fout van ten hoogste 0,6 %.

Archimedes' methode voor het insluiten van π

De Griekse wiskundige Archimedes (Άρχιμήδης, 287 – 212 v.Chr.) was de eerste die het probleem wiskundig aanpakte, daarom werd pi soms constante van Archimedes genoemd. Hij benaderde de cirkel met regelmatige veelhoeken aan de binnen- en buitenkant. Hoe meer hoeken en zijden de veelhoek heeft, des te beter wordt de cirkel benaderd. Archimedes berekende daarom de omtrek van een reeks van in- en omgeschreven regelmatige veelhoeken, namelijk met 6, 12, 24, 48 en 96 hoeken. Deze veelhoeken omsloten de cirkel steeds beter. De waarde van de cirkelomtrek 2πr moest op grond van dit insluitingsprincipe tussen de waarde van de omtrekken van de veelhoeken liggen. Zo vond Archimedes dat π ingeklemd werd tussen 223/71 en 22/7. Het gemiddelde van de twee kon als redelijke schatting genomen worden en gaf voor π de benadering 3,1419 met een fout van 0,008 %.

In de eeuwen daarna werd π ook berekend in India en China. Rond 265 vond de Chinese wiskundige Liu Hui een iteratief algoritme om π te berekenen tot elke gewenste nauwkeurigheid. Zelf gebruikte hij een 3072-veelhoek en benaderde π zo met 3,14159, dus met een relatieve fout van 8 × 10^-7.

De berekening van Liu Hui komt neer op

$\begin{align} \pi \approx A_{3072} & {} = 768 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+1}}}}}}}}} \\ & {} \approx 3{,}14159. \end{align}$

[bewerken] De notatie π

In het boek A New Introduction to Mathematics van William Jones van 1706 werd de Griekse letter π - van perimetros, "περίμετρος", omtrek - het eerst gebruikt voor de wiskundige constante pi. De notatie werd echter pas echt algemeen toen Leonhard Euler het in 1737 overnam.

Tegenwoordig wordt π gebruikt in elk wiskunde- en natuurkundeboek.

[bewerken] Historisch overzicht van de benaderingen

Wiskundige	Tijd	Decimalen	Bijzonderheden
Egypte, Babylonië, India	1900 - 1700 v.Chr.	1
Archimedes	ca. 250 v.Chr.	3	Benaderde pi door regelmatige veelhoeken
Liu Hui	263	3	Vond 3,14159 maar stelde dat 3,14 een goede benadering was
Aryabhata	in de 5e eeuw	4
Zu Chongzhi	ca. 480	7
Jamshid Masud Al-Kashi	ca. 1424	16	Vond pi in een zestigtallig talstelsel
Ludolph van Ceulen	1610	35	Graveerde zijn prestatie op zijn grafsteen
Jurij Vega	1789	126	Berekende 140 decimalen waarvan 126 correct (wereldrecord tot 1841)
William Rutherford	1841	152	Berekende 208 decimalen
William Shanks	1873	527	Berekende 707 decimalen (decimaal 528 bleek fout)
D. F. Ferguson	1947	808

Tegenwoordig wordt het berekenen van π gebruikt om de snelheid van computers te onderzoeken.

[bewerken] Project Gutenberg

De eerste miljoen decimalen van π en 1/ π zijn beschikbaar door het project Gutenberg. Het huidige record (per oktober 2005) staat op 1.241.100.000.000 cijfers, die berekend werden in december 2002 aan het ITC van de Universiteit van Tokio.

[bewerken] Irrationaliteit en transcendentie van π

Johann Heinrich Lambert bewees in 1761 dat π een irrationaal getal is. Dat wil zeggen, dat het niet als de verhouding van twee gehele getallen kan worden geschreven.

In 1882 bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann zelfs dat π een transcendent (ofwel niet-algebraïsch) getal is. Dat betekent dat er geen polynoom met gehele coëfficiënten bestaat met π als nulpunt. Daardoor is het onmogelijk, om in een eindig aantal stappen door constructie met passer en liniaal een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van een gegeven cirkel. De reden is, dat alle punten die met passer en liniaal bereikt kunnen worden algebraïsche getallen zijn.

[bewerken] Berekeningsmethoden

Door de transcendente aard van π bestaat er geen eenvoudige uitdrukking voor π en moeten we werken met benaderingen. Deze waren vroeger handig bij de toegepaste wetenschappen. Recente benaderingen hebben zoveel decimalen dat ze weinig praktisch nut hebben, behalve dan om nieuwe supercomputers mee te testen.

Een bekende uitstekende benadering van π door Adriaan Metius in de Renaissance was 355/113, het getal van Metius. Dit komt overeen met 3,14159292 en heeft een relatieve afwijking van de exacte waarde van π van slechts 8 × 10⁻⁸.

Ludolph van Ceulen berekende rond 1600 de eerste 35 decimalen. Hij was zo trots op zijn prestatie dat hij ze op zijn grafsteen heeft laten graveren ^[2]. Pi werd daarom soms getal van Ludolph genoemd.

De Sloveense wiskundige Jurij Vega berekende in 1789 de eerste 140 decimalen voor π, waarvan er 126 correct waren.^[3] Dit was 50 jaar lang het wereldrecord. Hij verbeterde de formule van John Machin uit 1706 en deze wordt vandaag de dag nog steeds aangehaald.

[bewerken] Formule van Machin

Van de bovenstaande benaderingen is alleen die van Machin efficiënt om π te berekenen:

$\frac{\pi}{4} =4\ \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}$

Dit resultaat kan het eenvoudigst geverifieerd worden met poolcoördinaten van complexe getallen:

$(5 + i)^4 \cdot (239 - i) = 114244 \cdot (1 + i).$

In deze formule is i de imaginaire eenheid.

[bewerken] Formule van Bailey, Borwein en Plouffe

In 1996 ontdekte Simon Plouffe in samenwerking met David H. Bailey en Peter Borwein een nieuwe formule voor π als oneindige reeks:

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Deze formule laat het toe om eenvoudig de n-de binaire of hexadecimale positie van π te berekenen zonder daarvoor eerst alle voorgaande posities te berekenen. Baileys website bevat zowel de afleiding als implementaties in verschillende programmeertalen.

[bewerken] Reeksen

Er bestaan veel reeksen die een uitdrukking in π zijn. De belangrijkste daarvan zijn

formule van Leibniz

(reeks 1) : $\frac{\pi}{4} = \arctan(1) = \tfrac{1}{1} - \tfrac {1}{3} + \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{7} + \cdots$

(reeks 2) : $\frac{\pi^2}{12} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots$

formule van Euler

(reeks 3) : $\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

(reeks 4) : $\frac{\pi^2}{8} = 1+\frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$

(reeks 5) : $\frac{\pi}{6} = \arcsin \frac{1}{2}$

formule van Machin

(reeks 6) : $\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}$

formule van Viète

$\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \cdot \cdots$

Wanneer men deze reeksen tot tien en tot honderd termen uitrekent wordt duidelijk welke reeks het snelste π benadert (convergentie):

Reeks	Benadering met 10 termen	Benadering met 100 termen
1	3,041839619	3,140592654
2	3,132977195	3,141591700
3	3,049361636	3,140638057
4	3,109625458	3,141274328
5	3,141592647	3,141592654
6	3,141592654	3,141592654

De snelheid van convergentie van de eerste vier reeksen is dus redelijk laag. Van de 5e reeks zijn 13 termen voldoende voor een nauwkeurigheid van 9 decimalen, van de 6e reeks 6 termen. Bij deze laatste twee reeksen is de limiet van het quotiënt van twee opeenvolgende termen in absolute waarde kleiner dan 1, wat een snelle convergentie garandeert.

Met deze eigenschap in gedachten zijn reeksen ontwikkeld die nog sneller convergeren, zoals:

$\frac{1}{\pi}=\frac{163 \cdot 8 \cdot 27 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 127}{640320^{3/2}} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left (\frac{13591409}{163 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 127} + n \right )$ $\frac{(6n)!}{(3n)! \, {n!}^3}\frac{(-1)^n}{640320^{3n}}$ .

Per extra term bij de sommatie wordt de benadering 14 cijfers nauwkeuriger.

[bewerken] Product van Wallis

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$

Dit is meer een curiositeit dan een bruikbare formule om π te berekenen. Neemt men van beide zijden de logaritme, dan wordt de rechterzijde een reeks. Nemen we hiervan steeds twee termen samen dan is de limiet van het quotiënt van twee opeenvolgende termen 1.

[bewerken] Algoritmes

Zie de pagina Algoritmes om pi te bepalen voor meer informatie.

[bewerken] Formules waarin π voorkomt

[bewerken] Algemeen

Benadering voor n-faculteit met de formule van Stirling

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Formule van Euler

$\!e^{i \pi} + 1 = 0$

Integraal

$\sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$

[bewerken] Getaltheorie

De kans dat twee willekeurig gekozen gehele getallen relatief priem zijn, is 6/π².

Het gemiddelde aantal manieren om een positief, geheel getal te schrijven als de som van twee volmaakte kwadraten (volgorde is van belang) is π/4.

[bewerken] Open vragen

De dringendste open vraag luidt is π normaal? Normaal betekent hier dat elke cijfergroep in de expansie van π even vaak voorkomt als bij een willekeurige keuze. Zo ja, dan zou π normaal moeten zijn in elke basis (met elk grondgetal), niet alleen in basis 10.

Bailey en Crandal toonden in 2000 aan dat de bovenstaande formule van Bailey, Borwein en Plouffe (en andere vergelijkbare formules) betekent dat de normaliteit van π in basis 2 en verschillende andere constanten gereduceerd kan worden als een mogelijke aanname voor chaostheorie. Zie de bovenstaande website van Bailey voor details.

Het feit dat de reeks van Pi's decimalen oneindig is en niet repeteert, leidt samen met het zgn. "Infinite Monkey Theorem" tot een ander onopgelost probleem. Het genoemde theorema houdt in dat een aap die op een typemachine willekeurige letters aanslaat uiteindelijk elke gewenste volgorde zal typen (en dus elke gewenste tekst), zoals "Hamlet" van Shakespeare, als hem maar genoeg tijd wordt gegund. In dit verband moet de aap beschouwd worden als een metafoor voor een machine die een eindeloze reeks willekeurige letters produceert. Wanneer we interpunctie, hoofdletters en spaties negeren, bestaat "Hamlet" uit ongeveer 130.000 letters. Als de letter a wordt weergegeven als 01, b als 02 etc.. tot z als 26, kan "Hamlet" worden geschreven als een specifieke volgorde van 260.000 cijfers. Die specifieke reeks moet theoretisch ergens binnen Pi's oneindige aantal decimalen voorkomen. Het is nog niet berekend op welke decimaal n deze reeks begint (of op welke decimaal n + 260.000 zij eindigt).

[bewerken] Piphilologie

Mnemotechnieken om de cijfers van π te onthouden worden samen humoristisch aangeduid als Piphilologie. Het woord is een duidelijke woordspeling op Pi zelf en het linguïstische onderzoeksgebied filologie (Engels: philology).

Het bekendste voorbeeld van een geheugensteuntje voor de cijfers van π komt van Isaac Asimov:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

In dit voorbeeld staat het aantal letters in ieder woord voor de opeenvolgende cijfers van π: 3,141.592.653.589.79. Er zijn piphilologisten die gedichten hebben geschreven om meer dan 100 cijfers te coderen.

Een Nederlands voorbeeld (de ij telt voor één letter):

Wie π voor 't eerst berekende

hij sterft nooit!

Of:

Wie U kent o getal, belangrijk en gepast,

vindt een rijker waarheen,

ankervast

Een ander voorbeeld:

Wie u eens π heeft verzonnen in aloude tijden

was nooit begonnen inderdaad spoedig geëindigd

als hij had ingezien

welk gezeur de cijfers bien

En nog een:

Zeg 't moet u zeker verheugen te kunnen geven dit getal

Nog een Engels voorbeeld (waarbij zelfs de komma op de juiste plaats staat!):

Sir, I bear a rhyme excelling

in mystic force and magic spelling.

Celestial spirits elucidate

all my own striving can't relate

In het Frans komt men tot 127 decimalen (de tienletterwoorden tellen als 0):

Que j'aime a faire apprendre un nombre utile aux sages.

Glorieux Archimède, artiste ingenieux!

Toi de qui Syracuse aime encore la gloire.

Soit ton nom conservé par de savants grimoires.

Jadis, mysterieux, un problème existait.

Tout l'admirable procédé (l'oeuvre etonnante!)

Que Pythagore decouvrit aux anciens Grecs:

Ô Quadrature! Vieux tourment du philosophe! Sibylline rondeur!

Trop longtemps vous avez defié Pythagore et ses imitateurs!

Comment integrer l'espace plan circulaire?

Thales tu tomberas! Platon tu desespères!

Apparait Archimède:

Archimède inscrira dedans un hexagone:

Appréciera son aire fonction du rayon;

Pas trop ne s'y tiendra!

Dedoublera chaque élément anterieur,

Toujours de l'orbe calculée approchera

Laquelle limite donne l'arc,

La longueur de cet inquiétant cercle,

Ennemi trop rebelle!

Professeur, enseignez son problème avec zèle ...

[bewerken] Drs. P.

Onder de titel Griekse tango schreef Drs. P. een aan een pi-minnaar gewijd, dramatisch lied, dat onder meer te vinden is op Drs. P. Compilé sur CD.

[bewerken] Pi-dag

Op 14 maart 2006 werd de 300e verjaardag van π als wiskundig symbool gevierd. Op 14 maart (maand 3, dag 14, verwijst naar de eerste drie cijfers) wordt over de gehele wereld aan verschillende universiteiten Pi-dag gevierd. Het is tevens de verjaardag van Albert Einstein.

[bewerken] Pi in de Bijbel

In de Bijbel staat in 2 Kronieken 4:2 (NBV): Hij liet ook de Zee maken, een bekken van gegoten brons, vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el. Zo ook staat in 1 Koningen 7:23 iets gelijkaardigs. Volgens deze beschrijvingen zou π de waarde 3 hebben, maar men kan beter concluderen dat de getallen in de Bijbel benaderingen zijn.

[bewerken] Zie ook

[bewerken] Bronnen

Boyer, C.B.: A history of mathematics, New York, 1968
Press, William H., Vetterling, William T., Teukolsky, Saul A., Flannery, Brain P. 1992 - Numerical Recipes in C 2de editie, Cambridge university press, ISBN 0-521-43108-5 (Hoofdstuk 20 paragraaf 6)
Råde, Lennart en Westergren, Bertil (2004) - Mathematics Handbook for science and Engineering 5de editie, Studentlitteratur, Lund (Zweden), ISBN 91-44-03109-2 (Voor geometrische formules, hoofdstuk 3)
J.J. O'Connor and E.F. Robertson: A history of Pi. Mac Tutor-project

[bewerken] Externe links

(en) J.J. O'Connor and E.F. Robertson: A history of Pi. Mac Tutor-project
(en) Wolfram Mathematics-pagina met formules voor π
(en) 100.000 decimalen van π
(en) downloads van π tot 1.250.000 decimalen
(nl) 10 of meer cijfers van π onthouden: een verzameling ezelsbruggetjes om de eerste cijfers te kunnen onthouden
(en) Een miljoen decimalen (Vanwege problemen met bandbreedte is de oorspronkelijke hoofdpagina van deze site verplaatst naar /index314.html)
(fr) (en) www.les-sciences.be
(en) π zelf berekenen met Super Pi
(nl) Over de geschiedenis van het getal pi.

Referenties:

↑ N.a.v. een prijsvraag in Natuur & Techniek, n° 9, september 2000, met een eervolle vermelding van D. A. Borgdorff voor de betreffende oplossing in n° 11, november 2000.
↑ Grafsteen van Ludolph van Ceulen met 35 decimalen van π.
↑ http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/Jurij%20Vega/Vega%20math%20script.pdf

Meer afbeeldingen die bij dit onderwerp horen, zijn te vinden in de categorie Pi van Wikimedia Commons.

Bijzondere getallen
Bevriende getallen · Bijna perfect getal · Constante van Gelfond · Constante van Kaprekar · e · Fermatgetal · Gebrekkig getal · Getal van Graham · Gulden snede · Kaprekargetal · Mersennepriemgetal · Natuurlijk getal · Overvloedig getal · Perfect getal · Pi · Priemgetal · Priemtweeling · Samengesteld getal · Semiperfect getal · Sphenisch getal

[0] N.a.v. een prijsvraag in Natuur & Techniek, n° 9, september 2000, met een eervolle vermelding van D. A. Borgdorff voor de betreffende oplossing in n° 11, november 2000.

[1] Grafsteen van Ludolph van Ceulen met 35 decimalen van π.

[2] ttp://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/Jurij%20Vega/Vega%20math%20script.pdf

[1]

[2]

[3]