Pitchfork-bifurcatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
(supercritische) Pitchfork bifurcatie. Horizontaal: de parameterwaarde. Verticaal: De variabele. Geel en lichtblauw: Stabiel (getrokken) en onstabiel (gestreept) evenwichtspunt. Paarse pijlen: richting waarin het systeem zich ontwikkelt.

De Pitchfork bifurcatie is onderdeel van de bifurcatietheorie. Het beschrijft hoe een systeem overgaat van één stabiele stationaire oplossing naar twee. In werkelijkheid ontstaan twee nieuwe stabiele stationaire oplossingen (evenwichtspunten). De oorspronkelijke oplossing verdwijnt niet maar wordt onstabiel.

Het gedrag van de pitchfork bifurcatie wordt beschreven met de normaalvorm:

 \frac{dx}{dt}=x(r-px^2).

Voor p=1 is dit bifurcatie supercritisch.
Voor r<0 heeft het systeem dan één stabiel evenwichtspunt bij x=0.
Voor r>0 zijn er twee stabiele evenwichtspunten bij x=\pm \sqrt{r} en één onstabiel punt voor x=0.
De bifurcatie vindt plaats bij r=0.

Net als de Hopf bifurcatie heeft de pitchfork bifurcatie een subcritische vorm voor p=-1. De stabiliteit is dan omgekeerd: het oorspronkelijke evenwichtspunt is onstabiel, net als twee van de drie evenwichtspunten uiteindelijke evenwichtspunten.

Bij de pitchfork bifurcatie ontstaan dus twee nieuwe evenwichtspunten op de plek waar er al één was. Het bestaande evenwichtspunt wordt (bij de supercritische bifurcatie) onstabiel. Het netto effect is dat het systeem overgaat van één naar twee stabiele evenwichtspunten.

Een voorbeeld van een (supercritische) pitchfork bifurcatie is een schakelaar. Trekt men die, bijvoorbeeld met een veer, in één stand dan is er maar één evenwichtstoestand. Maar als de veer ontspannen is zijn er twee stabiele toestanden (de twee toestanden van de schakelaar) en één onstabiele (als de schakelaar precies in het midden staat).

In het algemeen kan men zich een pitchfork bifurcatie voorstellen als een hobbel die ontstaat in een dal (van een energielandschap). De evenwichtstoestand (de bodem van het dal) wordt dan onstabiel, maar er ontstaan twee nieuwe stabiele evenwichtstoestanden (dalen) aan beide zijden van de hobbel.

Zie ook[bewerken]