Poissonvergelijking

Een Poissonvergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die in een cartesisch coördinatenstelsel onderstaande vorm heeft:

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z)$

De divergentie van de gradiënt van scalaire functie φ (x,y,z) is gelijk aan een andere scalaire functie, f(x,y,z).

Onafhankelijk van een coördinatenstelsel genoteerd met de operator $\nabla$ (nabla):

${\nabla}^2 \varphi = f$

of met de Laplace-operator:

$\Delta\varphi=f$.

De vergelijking is genoemd naar de Franse wiskundige, meetkundige en fysicus Siméon-Denis Poisson.

De vergelijking komt onder andere voor in de elektriciteitsleer, als betrekking tussen de elektrische potentiaal V en een elektrische ladingsverdeling ρ.

${\nabla}^2 V = - {\rho \over \epsilon_0}$

In een ladingsvrij gebied gaat de vergelijking over in de Laplace-vergelijking:

${\nabla}^2 V = 0$

Er bestaan verscheidene methoden voor numerieke oplossing. De relaxatiemethode, een iteratief algoritme, is daar een voorbeeld van.

Externe link

• Poisson Equation op EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Bibliografie

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9