Polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek van de veeltermfunctie y = x2 - x - 2.

In de wiskunde is een polynoom of veelterm, ook wel algebraïsche uitdrukking genoemd, in één variabele x een uitdrukking van de vorm:

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n

waarin n een natuurlijk getal is en waarbij de coëfficiënt a_n van de hoogste macht van x ongelijk is aan 0, of de uitdrukking

0

In het eerste geval heten de getallen a_0, a_1, \ldots, a_n de coëfficiënten van de polynoom, en heet n de graad van de polynoom. De graad van de nulpolynoom is niet gedefinieerd, of soms als -1 of -\infty.[1] Dat is handig omdat men dan in "De verzameling van alle polynomen van graad  \leq n , samen met de nulveelterm" (zie ook onder) de laatste toevoeging kan weglaten.

Buiten de nulpolynoom heeft elke constante veelterm de graad 0. Veeltermen van de graad 1 heten lineaire veeltermen (ofschoon affien een juistere benaming zou zijn), veeltermen van de graad 2 zijn kwadratische veeltermen. Veeltermen van graad 3 heten derdegraads (Engels: cubic), veeltermen van graad 4 heten vierdegraads (Engels: quartic) en veeltermen van graad 5 zijn vijfdegraads veeltermen (Engels: quintic).

Een veelterm of polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee basisbewerkingen van de rekenkunde (optelling en vermenigvuldiging) een eindig aantal keren voorkomen, of een uitdrukking die op die manier herschreven kan worden. We onderscheiden reële veeltermen, waarin alleen reële getallen voorkomen, en complexe veeltermen, waarin complexe getallen voorkomen.

De uitdrukking definieert een zogenaamde polynomiale functie, waarbij de bovengenoemde variabele het argument is. Dit type functie wordt ook een polynoom genoemd. Polynomen vormen een belangrijke klasse van functies met veel toepassingen. Het zijn relatief eenvoudige gladde functies, dat wil zeggen dat zij continu en (willekeurig vaak) differentieerbaar zijn. Zij worden onder meer gebruikt als benadering voor ingewikkelder functies. De verzameling van alle polynomen wordt genoteerd met \mathbb{P}. De verzameling van alle polynomen van graad  m \leq n , samen met de nulveelterm, wordt genoteerd met \mathbb{P}_n. Beide verzamelingen vormen een reële vectorruimte. De coëfficiënten kunnen als coördinaten optreden. De basisvectoren zijn dan de machten van x. De ruimte \mathbb{P}_{n-1} is n-dimensionaal.

Als men van een veelterm over \R de grafiek tekent, krijgt men een kromme in het platte vlak:

  • eerstegraadsveeltermen corresponderen met rechte lijnen, en
  • tweedegraadsveeltermen corresponderen met parabolen.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd die zegt dat elke veelterm van graad n over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in n lineaire (dat wil zeggen eerstegraads) factoren:

\,a_n (x-b_1)(x-b_2) ... (x-b_n).

De getallen bk (k=0...n) staan bekend als de nulpunten van de veelterm, of als wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking (zie hierna). Men noemt het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt de multipliciteit van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als we elk nulpunt even vaak meetellen als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad.

Veeltermen over \mathbb{R} kunnen beschouwd worden als speciale gevallen van veeltermen over \mathbb{C}. Zij hebben dus eveneens n complexe nulpunten, die in bijzondere gevallen reëel zijn. Hier geldt de eigenschap dat elke reële veelterm van oneven graad ten minste één reëel nulpunt heeft, en dat de niet-reële (eigenlijke complexe) nulpunten steeds in complex toegevoegde paren voorkomen. Opmerking: er is geen algoritme die voor willekeurige veeltermen van een graad groter dan 4 een nulpunt kan vinden; de b_k bestaan dus wel, maar zijn voor veeltermen van hogere graad doorgaans niet exact te bepalen.

Een breuk van twee veeltermen heet een rationale functie. De nulpunten van de teller heten nulpunten en die van de noemer polen.

Nulpunten van een polynoom[bewerken]

Volgens de hoofdstelling van de algebra is een polynoom vastgelegd door zijn nulpunten, dat mogen complexe nulpunten zijn, en een constante:

\, p(x) = c (x-b_1)(x-b_2) \cdots (x-b_n),

waarin de b_k de nulpunten zijn van de polynoom.

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de polynoom gelijk aan nul te stellen, zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende x van de volgende vorm:

\, a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0.

Hierin is elke a_k een constante die de k-de graads coëfficiënt wordt genoemd. De graad van de polynoom, dit is de grootste waarde van k waarvoor geldt dat a_k \neq 0, wordt ook de graad van de vergelijking genoemd.

Een speciaal geval vormen de polynomen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n polynoom wordt een algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is, maar wel reëel, heet een transcendent getal.

Coëfficiënten[bewerken]

Een polynoom is volledig bepaald door z'n coëfficiënten. Als het niet om de corresponderende functie gaat, is niet aan de orde welke waarden x kan aannemen; de polynomen corresponderen een-op-een met eindige rijen getallen (de coëfficiënten). Dan bestaat de rol van de variabele x er slechts in de notatie als som van gewogen machten van x mogelijk te maken, en zo op natuurlijke wijze de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van de polynomen in te voeren. Vooral voor het vermenigvuldigen is deze notatie handig, men hoeft niet een speciale regel voor het vermenigvuldigen van eindige rijen getallen toe te passen.

Er zijn ook polynomen met andere coëfficiënten dan reële getallen, of met coëfficiënten die beperkt zijn tot een deel van de reële getallen. Als de verzameling waaruit de coëfficiënten worden gekozen een commutatieve ring is, vormen de polynomen ook een commutatieve ring.

Voorbeelden van commutatieve ringen waaruit men de coëfficiënten kan kiezen zijn de gehele getallen, de rationale getallen, de reële getallen en complexe getallen. We spreken dan van polynomen over \Z, \mathbb{Q}, \R of \mathbb{C}.

Definitiegebied van polynomiale functies[bewerken]

Bij een gegeven commutatieve ring kan men de coëfficiënten kiezen uit een deelring (eventueel de ring zelf) en als domein van de polynomiale functies een deelverzameling van de ring (eventueel weer de ring zelf) nemen. De afbeelding die aan een polynoom de bijbehorende polynomiale functie toevoegt, is dan lineair. De afbeelding is dan en slechts dan injectief, als alleen de polynoom die identiek nul is, een functie oplevert die de nulfunctie is (een functie die bij ieder argument uit het domein de waarde 0 oplevert). Dit is niet het geval als het domein van de polynomiale functies eindig is en een deelverzameling van de deelring, men kan dan eenvoudig een polynoom construeren die niet identiek nul is, maar waarbij wel de erdoor vastgelegde functie bij elk argument nul oplevert (nulfunctie). Er zijn dan bij een polynomiale functie (wat trouwens iedere functie dan is) oneindig veel corresponderende polynomen.

Dit onderstreept de verschillen tussen een polynoom als uitdrukking en een polynoom als functie. Let wel, als het domein een oneindige verzameling is, is er wel een een-op-een correspondentie tussen de uitdrukkingen en de functies.

Deling van veeltermen met een staartdeling[bewerken]

Bij de deling van een veelterm door een veelterm van lagere (of gelijke) graad kan gebruikgemaakt worden van een staartdeling; deze rekenwijze staat bekend als de delingsalgoritme. Als we de eerstgenoemde veelterm aanduiden als p(x) (het deeltal), en de andere veelterm als d(x) (de deler), dan kan men schrijven:

\!\,p(x) = q(x)d(x)+r(x),

waarin de veelterm q(x) het quotiënt en de veelterm r(x) de rest voorstellen. Als de graad van p(x) gelijk is aan P, en die van d(x) is D, dan geldt dat de graad van q(x) gelijk is aan P-D en die van r(x) ten hoogste gelijk is aan D-1, tenzij de rest precies 0 is. In het laatste geval komt deze staartdeling precies uit en is de veelterm p(x) ontbonden in de twee veeltermen q(x) en d(x) van lagere graad (merk op dat de som van de graden van q(x) en d(x) gelijk is aan die van p(x)). We noemen p(x) dan deelbaar door d(x) (en natuurlijk ook door q(x)).

Voorbeeld[bewerken]

x+1 / 4x3+5x2+3x+2 \ 4x2+x+2
      4x3+4x2
      -------
           x2+3x+2
           x2+ x 
           -------
              2x+2
              2x+2
              ----
                 0

Hieruit concluderen we: 4x3+5x2+3x+2 = (4x2+x+2)(x+1). Toelichting: voor de / staat de deler, tussen de / en de \ staat het deeltal; steeds wordt de hoogste macht van x aangepakt; de eerste keer wordt de term met 4x3 verwerkt door x+1 te vermenigvuldigen met 4x2; het product wordt afgetrokken van het deeltal, en de 4x2 achter de \ geschreven; deze tweedegraads term vormt het begin van het quotiënt; in de navolgende stappen wordt steeds het restant (in de staart) verder afgebroken door op overeenkomstige wijze de term met de hoogste graad te verwijderen. Zodra de graad van het restant kleiner is dan die van de deler stopt men met de berekening. Het quotiënt staat nu achter de \ en de rest onderaan de staart. De werkwijze komt precies overeen met die bij staartdeling van getallen; in wezen vormt deze vorm een generalisatie: invullen van 10 voor de x en beperking tot veeltermen waarin geen minteken voorkomt levert de uit de rekenkunde bekende staartdeling.

Rest- en factorstelling[bewerken]

Men kan eenvoudig controleren of een polynoom p(x) een factor x-b bezit, substitueer b in p(x), dan moet gelden p(b)=0. De factorstelling zegt dat het hetzelfde is dat b een nulpunt van p(x) is en dat x-b een factor van p(x) is.

In het algemeen kan een polynoom p(x) door een andere polynoom d(x) worden gedeeld, waarvan de graad lager is dan die van p of door een lineaire factor x-b. De rest r(x) bij deling is een nieuwe polynoom of 0 wanneer p(x) precies door d(x) is te delen. Met x-b geeft dit, bij substitueren van x=b in p(x)=q(x)d(x)+r(x) de vergelijking p(b)=r(b). We vinden de rest na deling door x-b dus door in p(x) de x door b te vervangen, dit heet de reststelling. Op deze reststelling zijn overigens in het tientallige stelsel de negenproef en de elfproef gebaseerd.

Zo blijkt x+1 een factor van 4x^3 + 5x^2 + 3x + 2 te zijn.

Invullen van -1 voor x geeft 4(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -4+5-3+2 = 0.

In het tientallig stelsel komt dit overeen met de elfproef: modulo 11 is 10 congruent met -1; dit wordt gebruikt om aan te tonen dat modulo 11 het getal 4532 congruent is met 0, en dus deelbaar is door 11.

Differentiëren[bewerken]

Differentiëren van een polynoom verlaagt de graad van de polynoom met 1. Bijvoorbeeld differentiëren van 4x3+5x2+3x+2 van de graad 3 geeft 12x2+10x+3 van de graad 2.

Hornerschema[bewerken]

Het Hornerschema is een algoritme om efficiënt een veelterm in een punt x0 te evalueren.

Veeltermen in meer variabelen[bewerken]

Er zijn ook veeltermen in meer dan één variabele. Een veelterm in m variabelen (x1 tot xm) van de orde n, is dan een uitdrukking van de volgende vorm (of daartoe herleidbaar):

a_0 + \sum_{1\leq k \leq m} a_{1,k} x_k + \sum_{1 \leq k_1 \leq k_2 \leq m}a_{2,k_1,k_2} x_{k_1} x_{k_2} + ... + \sum_{1 \leq k_1 \leq ... \leq k_n \leq m} a_{n,k_1,...,k_n} x_{k_1}\cdots x_{k_n},

waarin ten minste een van de coëfficiënten a_{n,k_1,...,k_n} ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als:

\sum_{m_1,\dots ,m_n}  a_{m_1,\dots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n},

waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht m_i heet de graad van de variabele x_i. Het getal m_1+\dots +m_n heet de graad van de term a_{m_1,\dots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}. Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom.

Voorbeeld[bewerken]

De volgende veelterm in 3 variabelen x,y en z is van de orde 4 (voor het gemak zijn alle coëfficiënten geheeltallig gekozen, en de termen zijn in volgorde van opklimmende orde (of graad) neergeschreven):

\!\,4+x-2y+7z +x^2+3y^2-13xz-yz -y^3+8z^3+2x^2y-x^2z+8y^2z+xyz +11x^4-xyz^2.

Speciale veeltermen[bewerken]

Enkele speciale typen veeltermen hebben een eigen naam, waaronder:

Zie ook[bewerken]

Veeltermen worden veel toegepast in algoritmen, onder andere:

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties