Positief-definiete matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra wordt een n-bij-n reële matrix A positief-definiet genoemd, als de kwadratische vorm xTAx > 0 voor elke kolomvector x in de n-dimensionale Euclidische ruimte (met uitzondering van de nulvector).

Meestal wordt verondersteld dat A een symmetrische matrix is. Een vierkante matrix A kan altijd geschreven worden als de som van een symmetrische matrix B en een scheefsymmetrische matrix C, waarbij B = (A + AT)/2 en C = (A - AT)/2 (AT is de getransponeerde matrix van A). De matrix A is positief-definiet als en slechts als het symmetrische deel van A positief-definiet is.

Indien in de definitie "> 0" vervangen wordt door "< 0", spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Kenmerken[bewerken]

Hieruit volgt dat de determinant van een positief-definiete matrix positief is (de determinant is gelijk aan het product van de eigenwaarden), en dat dergelijke matrix inverteerbaar is. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is ook positief-definiet.
  • Matrix A is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van A positief is.
Als A een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit A wordt bekomen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit A weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van A positief.
De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm A = LLT, waarin L een benedendriehoeksmatrix is.
  • Matrix A is positief-definiet als en slechts als er een inverteerbare matrix Q bestaat zodat A =QTQ.

Eigenschappen[bewerken]

Enkele andere eigenschappen van positief-definiete matrices:

  • Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
  • De som van twee n-bij-n-positief-definiete matrices is positief-definiet.
  • Als A positief-definiet is, dan is Am positief-definiet (m is een positief geheel getal).
  • Als A positief-definiet is, dan bestaat A1/p, met p een positief geheel getal (d.w.z. er bestaat een matrix B zodat Bp=A).

Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

A=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 3 & 10 \end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}1 & -3 \\ -3 & 10 \end{bmatrix}

zijn beide positief-definiet. Hun product

AB=\begin{bmatrix}-8 & 27 \\ -27 &  91 \end{bmatrix}

is echter niet positief-definiet.

Voorbeelden van positief-definiete matrices[bewerken]

Semi-definiete matrix[bewerken]

Men heeft een positief semi-definitieve matrix A wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door xTAx ≥ 0. Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien xTAx ≤ 0 voor alle niet-zero x in Rn.

Belang[bewerken]

  • De positief-definietheid van de Hessiaan van een scalaire functie van n variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

Bronnen[bewerken]