Priemgetalstelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft de priemgetalstelling de asymptotische verdeling van de priemgetallen. De priemgetalstelling geeft een ruwe beschrijving hoe ver grote priemgetallen gemiddeld uit elkaar liggen. Ruwweg gesproken stelt de priemgetalstelling dat als men een willekeurig getal uitkiest in de buurt van enig groot getal N, dat dan de kans, dat dit getal een priemgetal is, ongeveer gelijk is aan 1 / ln(N), waarbij ln(N) voor de natuurlijke logaritme van N staat. In de buurt van N = 10.000 is de kans bijvoorbeeld ongeveer één op de 9, terwijl dit in de buurt van N = 1.000.000.000 circa één op de 21 is.

Formele beschrijving[bewerken]

Werkelijk aantal priemgetallen (paars) en x/ln x (groen)

Laat π(x) de priemgetal-telfunctie zijn die voor een functiewaarde kleiner of gelijk aan x, voor enig reëel getal x, het aantal gevonden priemgetallen teruggeeft. Een voorbeeld is π(10) = 4; dit omdat er precies vier priemgetallen (2, 3, 5 en 7) kleiner of gelijk aan 10 zijn. De priemgetalstelling stelt dan dat de limiet van het quotiënt van de twee functies π(x) en x / ln(x) gelijk wordt aan één als x tot oneindig nadert.

Dit kan worden uitgedrukt door de formule

\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,

Deze formule staat bekend als de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen. Door gebruik te maken van de asymptotische notatie kan dit resultaat als volgt worden geherformuleerd

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.

Deze notatie (en de stelling) zeggen niets over de limiet van het verschil van de twee functies als x tot oneindig nadert. Het gedrag van dit verschil gedraagt zich juist zeer gecompliceerd en het verschil is nauw gerelateerd aan de Riemann-hypothese. De priemgetalstelling stelt dat x/ln(x) nadert tot π(x) in de zin dat de relatieve fout van deze benadering tot 0 nadert, als x tot oneindig nadert.

De priemgetalstelling is equivalent aan de stelling dat het n-de priemgetal pn ongeveer gelijk is aan n ln(n), waar de relatieve fout van deze benadering opnieuw tot 0 nadert als n tot oneindig nadert.

Geschiedenis van de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen[bewerken]

Gebaseerd op de priemgetallentabellen van Anton Felkel en Jurij Vega uitte Adrien-Marie Legendre in 1796 het vermoeden dat π(x) wordt benaderd door de functie x/(ln (x)-B), waar B = 1.08... een constante dichtbij 1 is. Carl Friedrich Gauss beschouwde ongeveer tegelijkertijd met Legendre hetzelfde vraagstuk. Op basis van de voorliggende berekeningen en enige heuristische redeneringen kwam hij met zijn eigen benaderingsfunctie, de logaritmische integraal li(x). Gauss publiceerde zijn resultaten echter niet. Zowel de formules van Legendre en Gauss impliceren, zoals die hierboven is uitgelegd, dezelfde asymptotische gelijkwaardigheid van π(x) en x/ln(x), wel blijkt de benadering van Gauss echter aanzienlijk beter te zijn als men de verschillen in plaats van quotiënten beschouwt.

In twee artikelen uit 1848 en 1850 heeft de Russische wiskundige Pafnoeti Tsjebysjev geprobeerd om de asymptotische verdelingwet van de priemgetallen te bewijzen. Zijn werk is opvallend door het gebruik van de zeta-functie ζ(s), nog voor de beroemde verhandeling van Riemann uit 1859. Tsjebysjev slaagde erin een iets zwakkere vorm van de asymptotische verdelingswet te bewijzen, namelijk dat, als x naar oneindig gaat, als de limiet van π(x)/(x/ln(x)) bestaat, dat dan deze limiet noodzakelijkerwijs gelijk aan één is. Hij was in staat om zonder voorbehoud te bewijzen dat deze ratio van boven en beneden voor alle x wordt begrensd door twee expliciet gegeven constanten. Hoewel Tsjebysjev in zijn artikel de priemgetalstelling niet helemaal bewees, gebruikte hij zijn schattingen voor π(x) om het postulaat van Bertrand, dat er een priemgetal tussen n en 2n bestaat, voor enig geheel getal n ≥ 2, te bewijzen.

Zonder twijfel het belangrijkste werk over de verdeling van de priemgetallen was de verhandeling van Riemann uit 1859, Over het aantal priemgetallen kleiner dan een gegeven hoeveelheid, het enige artikel dat Riemann ooit over dit onderwerp heeft geschreven. Riemann voerde revolutionaire ideeën over dit onderwerp in. Het belangrijkste daarvan is het idee dat de verdeling van priemgetallen nauw verbonden is aan de nulpunten van de analytisch verlengde Riemann-zeta-functie van een complexe variabele. In het bijzonder in deze verhandeling brengt Riemann zijn idee tot uitvoer om methoden uit de complexe analyse bij het bestuderen van de reële functie π(x) te gebruiken. Voortbordurend op deze diepe ideeën van Riemann slaagden Hadamard en de la Vallée Poussin er onafhankelijk van elkaar in, om bijna veertig jaar na Riemann, in hetzelfde jaar (1896) de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen te bewijzen. Beide bewijzen maakten van methoden uit de complexe analyse gebruik, waarbij zij als een belangrijke stap in het bewijs vaststelden dat de Riemann-zeta-functie ζ(s) niet-nul is voor alle complexe waarden van de variabele s die de vorm s = 1 + it met t > 0 hebben.[1]

Tijdens de 20e eeuw kwamen de stellingen van Hadamard en de la Vallee-Poussin ook bekend te staan als de priemgetalstelling. Er werden verschillende nieuwe bewijzen van de priemgetalstelling gevonden, daaronder ook de "elementaire" bewijzen van Atle Selberg en Paul Erdős (1949).

Voetnoten[bewerken]

  1. Ingham, A.E., The Distribution of Prime Numbers (De verdeling van de priemgetallen), Cambridge University Press, 1990, p. 2–5 ISBN 0-521-39789-8.

Inleidende boeken[bewerken]