Productregel (afgeleide)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De productregel is een formule om de afgeleide van een product van functies te bepalen. Voor de afgeleide van twee in het punt a differentieerbare functies f en g geldt:

(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

De volgende verkorte notatie is eveneens gebruikelijk:

(fg)'= f'g + fg'

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw de functie h(x) = x3 cos(x). De functie is te schrijven als een product van f(x) = x3 en g(x) = cos(x).
Hieruit volgt dat f'(x) = 3x2 en dat g'(x) = - sin(x). Toepassing van de productregel levert dan

( {x^3 \cos x})'  = ( {x^3 } )'  \cos x + x^3 ( {\cos x})'   = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x \,

Bewijs[bewerken]

In onderstaand bewijs beschouwen we de functies f en g, differentieerbaar in het punt a.

(fg)' (a) = \lim_{x \to a} \frac{{f(x) g(x) - f(a) g(a)}}{x - a}
  = \lim_{x \to a} \frac{(f(x) - f(a)) g(x) + f(a) (g(x) - g(a))}{x - a}
  = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \lim_{x \to a} g(x) + f(a) \lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a}
= f'(a) g(a) + f(a) g'(a)

Veralgemening[bewerken]

De regel kan veralgemeend worden naar een product van meer dan twee functies.

Voor drie functies f, g en h verkrijgen we in de verkorte notatie

\left( {fgh} \right)^\prime   = f'gh + fg'h + fgh'

Veralgemenen naar n functies geeft met behulp van het sommatie- en productsymbool


\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {f_i } } \right)^\prime  \left( a \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {f_i \left( a \right) \cdot } \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{f_i ^\prime  \left( a \right)}}{{f_i \left( a \right)}}} } \right)

Zie ook[bewerken]