Producttopologie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie, een tak van de wiskunde, is de producttopologie een topologische structuur op het Cartesisch product van topologische ruimten.

Eenvoudig geval[bewerken]

Zijn (X_1,\mathcal{T}_1) en (X_2,\mathcal{T}_2) twee topologische ruimten. Het Cartesisch product X\times Y van de verzamelingen X en Y bestaat uit alle koppels (x,y) waarvan het eerste lid in X en het tweede lid in Y ligt.

De producttopologie van X\times Y is de topologie voortgebracht door producten van open delen van X en Y, dit wil zeggen dat

\{U\times V|U\in\mathcal{T}_1,V\in\mathcal{T}_2\}

een subbasis vormt voor de producttopologie.

Definitie[bewerken]

Zij

\{(X_i,\mathcal{T}_i)|i\in I\}

een familie topologische ruimten. De Cartesische productverzameling

\prod_{i\in I}X_i=\{f:I\mapsto\cup_iX_i|\forall i\in I,f(i)\in X_i\}

wordt uitgerust met de producttopologie, dit is de kleinste topologie die tegelijkertijd alle projectie-afbeeldingen

\pi_j:\prod_{i\in I}X_i\to X_j:f\mapsto f(j)

continu maakt. Het is dus de initiale topologie der projecties.

Voorbeelden[bewerken]

De producttopologie op \mathbb{R}^n van n keer de gewone topologie op \mathbb{R} is dezelfde als de topologie van de Euclidische afstandsfunctie op \mathbb{R}^n.

De verzameling van alle reële afbeeldingen \mathbb{R}\to\mathbb{R} kan worden opgevat als het oneindig Cartesisch product \mathbb{R}^\mathbb{R}. De producttopologie is de topologie van puntsgewijze convergentie, dat wil zeggen dat een rij reële functies (f_1,f_2,\ldots,f_n,\ldots) in deze topologie convergeert als en slechts als hun waarden in ieder punt x afzonderlijk convergeren, en de functiewaarde van de limietfunctie is de limiet van de functiewaarden:

(\lim_{n\to\infty}f_n)(x)=\lim_{n\to\infty}(f_n(x))

Product van compacte ruimten[bewerken]

De stelling van Tychonov luidt dat elk product van compacte topologische ruimten compact is. Voor een product van een eindig aantal ruimten is dit elementair, maar de stelling blijft geldig voor oneindige producten. Het bewijs hangt cruciaal af van het keuzeaxioma en de stelling is er zelfs mee gelijkwaardig.

Voorbeeld[bewerken]

De ruimte van alle afbeeldingen van het gesloten interval [0,1] naar zichzelf, met de topologie der puntsgewijze convergentie, is compact.

Toepassing[bewerken]

De Stone-Čech-compactificatie is een constructie die willekeurige T3.5-ruimten uitbreidt tot compacte ruimten door ze in te bedden in een meervoudig Cartesisch product van het gesloten interval [0,1] met zichzelf.