Profiniete groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een profiniete groep een topologische groep die in zekere zin wordt samengesteld uit eindige groepen. Profinieet groepen hebben veel eigenschappen gemeen met hun eindige quotiënten.

Definitie[bewerken]

Formeel is een profiniete groep een Hausdorff, compacte, en totaal omsamenhangende topologische groep: dat wil zeggen een topologische groep, die ook een Stone-ruimte is. Op equivalente wijze kan men een profiniete groep definiëren als een topologische groep, die isomorf is met de inverse limiet van een invers systeem van discrete eindige groepen. In categorische termen is dit een speciaal geval van een ge(co)filterde limiet constructie.

Voorbeelden[bewerken]

  • De groep van p-adische getallen Zp onder optelling is profiniet (in feite procyclisch). Het is de inverse limiet van de eindige groepen Z/pnZ, waar n over alle natuurlijke getallen varieert en de natuurlijke afbeeldingen Z/pnZZ/pmZ (nm) worden gebruikt voor het limietproces. De topologie op deze profiniete groep is dezelfde als de topologie, die voortvloeit uit de p-adische valuatie op Zp.
  • De Galoistheorie van velduitbreidingen van oneindige graad leidt op natuurlijke wijze tot Galoisgroepen die profiniet zijn. Met name als L/K een Galois-uitbreiding is , beschouwen we de groep G = Gal(L/K), die bestaat uit alle veldautomorfismen van L welke alle elementen van K vast houden. Deze groep is de inverse limiet van de eindige groepen Gal(F/K), waar F over alle tussenliggende gebieden zodanig varieert, dat F/K een eindige Galois-uitbreiding is. Voor het limietproces, gebruiken we de beperkende homomorfismen Gal(F1/K) → Gal(F2/K), waar F2F1. De topologie die wij verkrijgen op Gal(L/K) staat bekend als de Krull-topologie, vernoemd naar Wolfgang Krull. Waterhouse toonde aan dat elke profiniete groep isomorf is met eentje die voortkomt uit de Galoistheorie van enig veld K, maar men kan (nog) niet controleren welk veld K in dit geval zal zijn. In feite weet men voor veel velden K in het algemeen niet welke eindige groepen als Galois-groepen over K optreden. Dit is het inverse Galois-probleem voor een veld K. (Voor sommige velden K is het inverse Galois-probleem opgelost, zoals het veld van de rationale functies in één variabele over de complexe getallen.)

Zie ook[bewerken]