Projectieve ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
In een grafisch perspectief raken parallelle lijnen in het vlak elkaar in een verdwijnpunt aan de horizon.

In wiskunde is een projectieve ruimte een verzameling van elementen die vergelijkbaar is met de verzameling P(V) van lijnen door de oorsprong van een vectorruimte V. De gevallen, waar geldt dat V= R2 of V=R3, zijn respectievelijk de projectieve lijn en het projectieve vlak.

Het idee van een projectieve ruimte heeft betrekking op perspectief, meer bepaald op de manier, waarop het oog van een camera een 3D-scène op een 2D beeld projecteert. Alle punten die op een projectielijn (dat wil zeggen een "zichtlijn") liggen, die het brandpunt van de camera snijdt, worden geprojecteerd op een gemeenschappelijk beeldpunt. In dit geval is de vectorruimte R'3 met het camerabrandpunt in de oorsprong en correspondeert de projectieve ruimte met de beeldpunten.

Projectieve ruimten kunnen worden bestudeerd als een apart deelgebied binnen de wiskunde, maar worden ook in verschillende toepaste gebieden, vooral in de meetkunde gebruikt. Meetkundige objecten, zoals punten, lijnen of vlakken, kunnen worden weergegeven als elementen in projectieve ruimten, die zijn gebaseerd op homogene coördinaten. Als gevolg daarvan kunnen diverse relaties tussen deze objecten eenvoudiger worden beschreven dan mogelijk is zonder gebruik te maken van homogene coördinaten. Bovendien kunnen verschillende stellingen in de meetkunde consistent en veelomvattender worden gemaakt. Om een voorbeeld te geven, in de standaardmeetkunde van het vlak snijden twee lijnen elkaar altijd in een zeker punt, behalve als deze lijnen parallel aan elkaar lopen. In een projectieve representatie van lijnen en punten bestaat een dergelijke snijpunt echter ook voor parallelle lijnen, en kan dit snijpunt op dezelfde wijze worden berekend als andere snijpunten.

Andere wiskundige deelgebieden waar projectieve ruimten een belangrijke rol spelen zijn de topologie, de theorie van de Lie- en de algebraïsche groepen en hun representatietheorieën.

Inleiding[bewerken]

Zoals hierboven al aangegeven is de projectieve ruimte een meetkundig object, dat beweringen, zoals "parallelle lijnen kruisen elkaar in het punt op oneindig", formaliseert. Om een en ander concreet te maken, zal de constructie van het reële projectieve vlak P2(R) in enig detail worden gegeven. Er bestaan drie gelijkwaardige definities:

Projektivna rovina.png
  1. De verzameling van alle lijnen in R3 door de oorsprong (0, 0, 0). Elk van deze lijnen ontmoet de sfeer met een straal van één, die gecentreerd is in de oorsprong, precies twee keer, zeg in P = (x, y, z) en in haar antipodaal punt (-x, -y, -z).
  2. P2(R) kan ook beschreven als zijnde de punten op de sfeer S2, waar elk punt P en haar antipodale punt niet worden onderscheiden. Het punt (1, 0, 0) (het rode punt in het plaatje hiernaast) wordt bijvoorbeeld geïdentificeerd met (-1, 0, 0) (het roze-achtige punt), enz.
  3. Tenslotte is een andere gelijkwaardige definitie de verzameling van equivalentieklassen van R3\(0, 0, 0), dat wil zeggen de 3-ruimte zonder de oorsprong, waar twee punten P = (x, y, z) en P* = (x*, y*, z*) dan en slechts dan gelijkwaardig zijn als er een niet-nulzijnd reëel getal λ is, zodanig dat P = λ·P*, dat wil zeggen dat x = λx*, y = λy*, z = λz*. De gebruikelijke manier om een element van het projectieve vlak op te schrijven, dat wil zeggen de equivalentieklasse, die overeenkomt met een eerlijk punt (x, y, z) in R3, is: [x : y : z].

De laatste formule staat bekend onder de naam homogene coördinaten.

Merk op dat enig punt [x : y : z] met z ≠ 0 gelijkwaardig is aan [x/z: y/z : 1]. Er zijn dus twee disjuncte deelverzamelingen van het projectieve vlak: ten eerste de deelverzameling, die bestaat uit de punten [x:y:z] = [x/z : y/z : 1] voor z ≠ 0, en en ten tweede de deelverzameling die bestaat uit de resterende punten [x : y : 0]. De laatste deelverzameling kan op dezelfde wijze weer worden onderverdeeld in twee disjuncte deelverzamelingen, met de punten [x/y : 1 : 0] en [x : 0 : 0]. In het laatste geval is x noodzakelijkerwijs niet-nul, omdat de oorsprong geen deel uitmaakt van P2(R). Dus is het punt gelijkwaardig aan [1 : 0 : 0].

Meetkundig is de eerste deelverzameling, die isomorf is aan R2 (niet alleen als een verzameling, maar ook als een variëteit, zoals wij later zullen zien), in het plaatje hier rechtsboven het gele bovenste halfrond (zonder de evenaar), of op gelijkwaardige wijze het onderste halfrond. De tweede deelverzameling, die isomorf is aan R1, komt overeen met de groene lijn (zonder de twee gemarkeerde punten), of, nogmaals, op gelijkwaardige wijze de lichtgroene lijn. Tenslotte hebben we de rode punt of op gelijkwaardige wijze het roze-achtige punt. We hebben dus te maken met een disjuncte decompositie.

P2(R) = R2R1punt.

Intuïtief en hieronder meer geprecizeerd is, R1punt zelf de reële projectieve lijn P1(R). Beschouwd als een deelverzameling van P2(R) wordt het de lijn op oneindig genoemd, terwijl R2P2(R) het affiene vlak, dat wil zeggen het gewone vlak, wordt genoemd.

Het volgende doel is om de bewering "parallelle lijnen ontmoeten elkaar op oneindig" te precizeren. Een natuurlijke bijectie tussen het vlak z = 1 (die de sfeer aan de noordpool N = (0, 0, 1) raakt) en het affiene vlak binnen in het projectieve vlak (dat wil zeggen de bovenste halfrond) wordt volbracht door de stereografische projectie, dat wil zeggen dat enig punt P op dit vlak wordt afgebeeld op het snijpunt van de lijn door de oorsprong en P en de sfeer.

Daarom worden twee lijnen L1 en L2 (blauw) in het vlak afgebeeld op wat lijkt op grootcirkels (hoewel er antipodale punten worden geïdentificeerd). Grootcirkels kruisen elkaar precies in de twee antipodale punten, die zijn aangegeven in het projectieve vlak, dat wil zeggen dat elke twee lijnen precies een snijpunt binnen P2(R) hebben. Dit fenomeen is geäxiomatiseerd en wordt bestudeerd in de projectieve meetkunde.

Definitie van een projectieve ruimte[bewerken]

Een reële projectieve ruimte, Pn (R), wordt gedefinieerd door

Pn(R) := (Rn+1 \ {0}) / ~,

met de equivalentierelatie (x0, ..., xn) ~ (λx0, ..., λxn), waar λ een willekeurig niet-nulzijnd reëel getal is.

Op gelijkwaardige wijze is het de verzameling van alle lijnen in Rn+1 die door de oorsprong 0 := (0, ..., 0) gaan.

Externe links[bewerken]