Pseudo-riemann-variëteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Pseudo-Riemann-variëteit)
Ga naar: navigatie, zoeken

In de differentiaalmeetkunde is een pseudo-riemann-variëteit (ook wel een halve-riemann-variëteit genoemd) een veralgemening van een riemann-variëteit. Het is een van de vele wiskundige objecten, die vernoemd zijn naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann. Het belangrijkste verschil tussen een riemann-variëteit en een pseudo-riemann-variëteit is dat op een pseudo-riemann-variëteit de metrische tensor niet positief-definiet hoeft te zijn. In plaats daarvan wordt de zwakkere conditie van niet-gedegeneerd zijn opgelegd.

Definitie[bewerken]

Een pseudo-riemann-variëteit \,(M,g) is een differentieerbare variëteit \,M, die is uitgerust met een niet-gedegeneerde, gladde, symmetrische metrische tensor \, g, die, in tegenstelling tot een riemann-metriek, niet positief-definiet hoeft te zijn, maar die niet mogen degenereren. Zo'n metriek noemt men een pseudo-riemann-metriek en haar waarden kunnen positief, negatief of nul zijn.

Het teken van een pseudo-riemann-metriek is (p,q), waar zowel p als Q niet-negatief zijn.

Lorentz-variëteit[bewerken]

Een lorentz-variëteit is een belangrijk speciaal geval van een pseudo-riemann-variëteit, waarin het teken van de metriek (1,n-1) (of soms  (n-1,1) is, zie ook tekenconventie. Dergelijke metrieken worden lorentz-metrieken genoemd, naar de Nederlandse natuurkundige Hendrik Lorentz.

Toepassingen in de natuurkunde[bewerken]

Na riemann-varïëteiten vormen lorentz-variëteiten de belangrijkste deelklasse van pseudo-riemann-variëteiten. Ze zijn belangrijk vanwege hun natuurkundige toepassingen in de algemene relativiteitstheorie.

Een belangrijke veronderstelling in de algemene relativiteitstheorie is dat de ruimtetijd als een 4-dimensionale lorentz-variëteit van teken (3,1) (of op equivalente wijze (1,3) kan worden gemodelleerd. In tegenstelling tot riemann-variëteiten met positief-definiete metrieken, staat een teken van (p,1) of (1,q) toe dat raaklijnvectoren kunnen worden geclassificeerd als tijdachtig, nul of ruimteachtig (zie causale structuur).

Eigenschappen van pseudo-Rieman-variëteiten[bewerken]

Net zoals de euclidische ruimte \mathbb{R}^n kan worden beschouwd als de model riemann-variëteit, is de minkowski-ruimte \mathbb{R}^{n-1,1} met de vlakke minkowski-metriek de model lorentz-variëteit. Op dezelfde wijze is de modelruimte voor een pseudo-riemann-variëteit van teken (p,q) gelijk aan \mathbb{R}^{p,q} met de metriek

g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_n^2

Enkele basisstellingen uit de riemann-meetkunde kunnen worden veralgemeend naar het pseudo-riemanngeval. Met name geldt de basisstelling van de riemann-meetkunde ook voor pseudo-riemann-variëteiten. Hierdoor kan men spreken van de levi-civita-verbinding op een pseudo-riemann-variëteit, samen met de geassocieerde krommingstensor. Aan de andere kant zijn er vele stellingen in de riemann-meetkunde, die in het veralgemeende geval niet opgaan. Het is bijvoorbeeld niet waar dat elke gladde variëteit een pseudo-riemann-metriek van een gegeven teken toelaat; er zijn bepaalde topologische obstakels. Bovendien hoeft een deelvariëteit van een pseudo-riemann-variëteit niet per se een pseudo-riemann-variëteit te zijn.

Zie ook[bewerken]