Pseudo-euclidische ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een pseudo-euclidische ruimte is een eindige-dimensionale reële vectorruimte samen met een niet-gedegeneerde niet-definiete kwadratische vorm. Zo'n kwadratische vorm kan, na een verandering in coördinaten, geschreven worden als

q(x) = \left(x_1^2+\cdots + x_k^2\right)-\left(x_{k+1}^2+\cdots + x_n^2\right) \,

waar x = (x1, ..., xn), n de dimensie van de ruimte is en waar 1 ≤ k < n.

Een zeer belangrijke pseudo-euclidische ruimte is de Minkowski-ruimte, het wiskundige kader, waarin Albert Einsteins speciale relativiteitstheorie het meest natuurlijk in wordt geformuleerd. Voor een Minkowski-ruimte geldt dat n = 4 en k= 3. Voor echte euclidische ruimten geldt dat k = n, zodat de kwadratische vorm dus positief-definiet en niet indefiniet is.

Een andere pseudo-euclidische ruimte is het vlak z= x + yj, dat bestaat uit de split-complexe getallen, uitgerust met de kwadratische vorm

\lVert z \rVert = z z^* = z^* z = x^2 - y^2. \,

De grootte van een vector x in de ruimte wordt gedefinieerd als q(x). In een pseudo-euclidische ruimte bestaan er, dit in tegenstelling tot in een euclidische ruimte, niet-nul zijnde vectoren met grootte nul, en ook vectoren met negatieve grootte.

Geassocieerd met de kwadratische vorm q is het pseudo-euclidische inwendig product

\langle x, y\rangle = \left(x_1y_1+\cdots + x_ky_k\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\cdots + x_ny_n\right). \,

Deze bilineaire vorm is symmetrisch, maar niet positief-definiet, zodat het geen "echt" inwendig product is.

Een interessante eigenschap van de pseudo-euclidische ruimte is dat deze ruimte niet alleen een eenheidssfeer {x : q(x) = 1} is, maar ook een contra-sfeer {x : q(x) = -1}. De verzamelingen zijn in werkelijkheid veralgemeende hyperboloïden; de term sfeer is voor de consistentie met de euclidische-ruimteterminologie.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Szekeres, Peter, A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry, Cambridge University Press, 2004 ISBN 0521829607.
  • (en) Novikov, S. P.; Fomenko, A.T.; [translated from the Russian by M. Tsaplina], Basic elements of differential geometry and topology, Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers, 1990 ISBN 0792310098.