Stemming van Pythagoras

In de muziekleer is de stemming van Pythagoras een muzikale stemming gebaseerd op de reine kwint, dus de kwint met toonhoogteverhouding 2:3. Deze kwint is na het octaaf het meest consonante interval, vanwege de eenvoudige toonhoogteverhouding. Achtereenvolgende kwinten leiden tot verhoudingen 8:9 voor de hele toonafstand en door omkering ook 3:4 voor de kwart. Beginnend met de stamtoon F geven opeenvolgende reine kwinten de reeks stamtonen

F — C — G — D — A — E — B

met frequentieverhoudingen ten opzichte van de toon C (tussen haakjes staan de toonhoogteverhoudingen binnen het octaaf, verkregen door de oorspronkelijke toon over een of meer octaven te verhogen of te verlagen):

F = 2/3 (gereduceerd: 2/3 × 2 = 4/3)

C = 1

G = 3/2

D = 9/4 (gereduceerd: 9/4 : 2 = 9/8)

A = 27/8 (gereduceerd: 27/8 : 2 = 27/16)

E = 81/16 (gereduceerd: 81/16 : 4 = 81/64)

B = 243/32 (gereduceerd: 243/32 : 4 = 243/128)

Deze (gereduceerde) stamtonen vormen een diatonische toonladder van C:

C — D — E — F — G — A — B — C

waarin alle hele toonafstanden gelijk zijn aan 9/8 en de beide halve toonafstanden 256/243.

Mesos als uitgangspunt

Pythagoras vertrok in zijn muziekbeschrijvingen vanuit de μέσος (mesos = middelste toon), tegenwoordig in het algemeen weergegeven door middel van a¹. Dit is anders dan bij het huidige muziektheoretische denken, waarin men altijd van onder naar boven denkt, en vanuit grondtonen de fenomenen van samenklank verklaart.

Uitsluitend door gebruik te maken van de intervallen die bepaald worden door de eerste vier harmonischen (grondtoon, octaaf, kwint en kwart), construeerde hij zijn toonladder.

De eerste vier harmonischen zijn a, a¹, e² en a². Deze kregen de nummers 1, 2, 3 en 4 en ontstaan bij de snaarlengtes 1, 1/2, 1/3 en 1/4 op het door Pythagoras gebruikte monochord.

Daarmee waren de breuken gevonden, die de intervallen kwantificeerden. De snaarlengtes kunnen worden vermenigvuldigd met:

• 2 = octaaf omlaag
• 1/2 = octaaf omhoog
• 3/2 = kwint omlaag
• 2/3 = kwint omhoog
• 4/3 = kwart omlaag
• 3/4 = kwart omhoog

Met behulp van deze natuurzuivere intervallen werd een toonladder berekend, die een slordige 17 eeuwen lang, tot aan het begin der middeleeuwse polyfonie, in gebruik is gebleven.

De toonladder van Pythagoras ziet er als volgt uit, met A als tooncentrum; ze is dalend genoteerd, zoals in die tijd gebruikelijk was.

de tonen	E	D	C	B	A	G	F	E
de constructie	2/3	3/4	27/32	8/9	1	9/8	81/64	4/3
snaarlengte	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
frequentie- verhouding	1	8/9	64/81	3/4	2/3	16/27	128/243	1/2
toonafstand		9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Ze bestaat uit vijf Pythagorese hele toonafstanden en twee limma's (Pythagorese halve toonafstand).

Voorbeeld 1: Pythagorese toonladder met omgekeerde frequentieverhoudingen

Voorbeeld 2: Pythagorese toonladder met toonafstanden

De vijf hele toonafstanden van 9/8 zijn gebaseerd op een stapeling van twee natuurreine kwinten van elk 3/2. Samen met de twee halve toonafstanden s vormen de vijf hele toonafstanden een octaaf, dus:

$\left({\tfrac {9}{8}}\right)^{5}\times s^{2}=2$,

zodat de halve toonafstand ook een breuk wordt, namelijk

$s={\sqrt {\frac {2^{16}}{3^{10}}}}={\frac {2^{8}}{3^{5}}}={\frac {256}{243}}$.

Omdat beide halve toonafstanden op dezelfde manier gevormd worden, zijn ze aan elkaar gelijk. Er geldt immers voor de afstand s tussen E en F in de opeenvolging C-D-E-F-G:

${\tfrac {9}{8}}\times {\tfrac {9}{8}}\times s\times {\tfrac {9}{8}}={\tfrac {3}{2}}$

en voor de afstand s' tussen B en C in de opeenvolging F-G-A-B-C:

${\tfrac {4}{3}}\times {\tfrac {9}{8}}\times {\tfrac {9}{8}}\times {\tfrac {9}{8}}\times s'=2$

Dus

$s=s'$

Voor de gebruikelijke toonladder van C worden de verhoudingen:

	C	D	E	F	G	A	B	C
frequentie- verhouding t.o.v. C	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
verhouding met onderliggende toon	—	9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Constructie

• Afgeleid uit a¹ (=1):
  • e²: 1 × 2/3 = 2/3 (kwint omhoog).
  • e¹: 1 × 4/3 = 4/3 (kwart omlaag).
  • d²: 1 × 3/4 = 3/4 (kwart omhoog).

• Afgeleid uit de e¹ werd:
  • b¹: 4/3 × 2/3 = 8/9 (kwint omhoog).

• Beginnend met de d² werden de overige tonen een voor een uit elkaar afgeleid:
  • g¹: 3/4 × 3/2 = 9/8 (kwint omlaag), daaruit werd afgeleid:
  • c²: 9/8 × 3/4 = 27/32 (kwart omhoog), daaruit werd afgeleid:
  • f¹: 27/32 × 3/2 = 81/64 (kwint omlaag).

Diatoniek

Opmerkelijk is dat er slechts twee verschillende secundes in zijn, een grote en een kleine. De afstand tussen twee tonen wordt gemeten door het getal van de eerste (hoogste toon) te delen door die van de lagere, dezelfde uitkomst verkrijgt men door te vermenigvuldigen met de eerste, maar dan omgekeerde breuk (in feite wordt zo de stijgingsratio berekend):

• e² tot d²: 3/2 × 3/4 = 9/8
• d² tot c²: 4/3 × 27/32 = 108/96 = 9/8
• c² tot b¹: 32/27 × 8/9 = 256/243
• b¹ tot a¹: 9/8 × 1 = 9/8
• a¹ tot g¹: 1 × 9/8 = 9/8
• g¹ tot f¹: 8/9 × 81/64 = 648/576 = 9/8
• f¹ tot e¹: 64/81 × 4/3 = 256/243

Dalende toonladder

De complete toonladder kan nu ook vanuit de e worden beschreven. Opmerkelijk is, dat Pythagoras dezelfde stappen als de huidige basistoonladder in de westerse muziektheorie vond: 1 − 1 − 1/2 − 1 − 1 − 1 − 1/2, maar dan dalend (vergelijk de huidige majeurtoonladder, met dezelfde toonafstanden, in dezelfde volgorde, maar dan stijgend!).

• e²: 1
• d²: 9/8 (grote secunde omlaag)
• c²: 9/8 × 9/8 = 81/64 (tweemaal grote secunde is grote terts omlaag)
• b¹: 81/64 × 256/243 = 4/3 (grote terts plus kleine secunde is reine kwart omlaag)
• a¹: 4/3 × 9/8 = 3/2 (reine kwart plus grote secunde is reine kwint omlaag)
• g¹: 3/2 × 9/8 = 27/16 (reine kwint plus grote secunde is grote sext omlaag)
• f¹: 27/16 × 9/8 = 243/128 (grote sext plus grote secunde is grote septiem omlaag)
• e¹: 243/128 × 256/243 = 2 (grote septiem plus kleine secunde is octaaf omlaag)

Komma

Pythagoras' systeem lijkt ideaal en natuurzuiver, vanwege zijn hermetische constructie. Voor polyfone muziek is deze stemming echter ongeschikt, omdat de door Pythagoras gebruikte tertsen te veel afwijken van de reine tertsen 4/5 en 5/6 (en dus voor samenklank onbruikbaar worden). Deze afwijking ten opzichte van het reine interval heet didymisch, of syntonisch komma.

Een tweede "onvolkomenheid", de Pythagoreïsche komma, berekent (i.t.t. beschrijft) hoe en waarom het onmogelijk is, een toonladder met consistent zowel natuurreine octaven als kwinten te construeren.

Verschil met de reine stemming

Als we de verhoudingen zoals die door de breuken wordt aangegeven omrekenen naar cent en een tabel opstellen kunnen we de Stemming van Pythagoras met de reine stemming vergelijken. Als we de (grote) afwijkingen in de chromatische stappen buiten beschouwing laten dan valt op dat de grote terts (C-E) 22 cent te hoog is en daarmee nagenoeg onbruikbaar voor akkoorden.

toon	rein	Pythagoras	verschil
C	0	0	0
Cis	71	114	43
Des	112	90	−22
D	204	204	0
Dis	275	318	43
Es	316	294	−22
E	386	408	22
Fes	427	384	43
Eis	457	522	65
F	498	498	0
Fis	590	612	22
Ges	631	588	−43
G	702	702	0
Gis	773	816	43
As	814	792	−22
A	884	906	22
Ais	977	1020	43
Bes	1018	996	−22
B	1088	1110	22
Ces	1129	1086	−43
Bis	1159	1224	65
C	1200	1200	0

Pythagorisch interval

Pythagorisch interval
namen	verhouding
	(breuk)	(cent)
komma	${\tfrac {531441}{524288}}$	23,5
limma kleine semitoon	${\tfrac {256}{243}}$	90,2
apotome grote semitoon	${\tfrac {2187}{2048}}$	113,7
toon	${\tfrac {9}{8}}$	203,9
semiditonus	${\tfrac {32}{27}}$	294,1
ditonus	${\tfrac {81}{64}}$	407,8
reine kwart diatessaron sesquitertium	${\tfrac {4}{3}}$	498,0
tritonus	${\tfrac {729}{512}}$	611,7
reine kwint diapente sesquialterum	${\tfrac {3}{2}}$	702,0
octaaf diapason	${\tfrac {2}{1}}$	1200,0

Methodologie

Het opstellen van de pythagorische stemming was in Europa historisch gezien een van de eerste wetenschappelijke overgangen van een oorspronkelijk kwalitatief, naar een meer kwantitatief beschouwen van de werkelijkheid. Met andere woorden, Pythagoras gebruikte het getal, in plaats van het woord, als voornaamste bewijsmiddel. In andere, niet-westerse, culturen was zoiets al eerder geschied (zoals bij de Maya's).

Zie ook

• Breukgetal
• Ditonus
• Stemming (muziek)
• Reine stemming
• Microtonale muziek
• Toonladder

Externe link

• Geluidsfragment met verschil tussen Pythagoras, Rein en Gelijkzwevend

· ·

Toonstelsels

Bronnen, noten en/of referenties

• Willemze, W. 1987 Algemene Muziekleer, paragraaf 493, 494.

Utrecht: Het Spectrum.