Pythagorese drietallen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Pythagorees drietal (a, b, c) bestaat uit drie positieve gehele getallen a, b, c waarvoor geldt a2 + b2= c2. De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde. De oppervlakte van een dergelijke rechthoekige driehoek is dan een congruent getal.

Op kleitabletten uit de tijd van Hammurabi komen al Pythagorese drietallen voor. Op het tablet Plimpton 322 bijvoorbeeld staan 15 drietallen, waaronder (56,90,106), (119,120,169) en zelfs (12709,13500,18541). Ook in India kende men zulke getallen. In de Baudhayana-Sulbasutra uit de 6e eeuw v.Chr. staan vijf zulke drietallen.

Een scatterdiagram van de 'benen' (a,b) van de Pythagorese drietallen met c kleiner dan 6000. Om de parabolische patronen duidelijk te maken zijn ook negatieve waarden opgenomen.

Er zijn oneindig veel Pythagorese drietallen. In de onderstaande tabel staan de eerste zes.

a b c
3 4 5
5 12 13
6 8 10
7 24 25
8 15 17
9 12 15

Naast het drietal (3,4,5) vormen ook veelvouden hiervan, zoals (6,8,10) en (9,12,15) Pythagorese drietallen. Algemeen is met (a,b,c) ook (ka,kb,kc) voor elk positief geheel getal k een Pythagorees drietal.

Een Pythagorees drietal (a,b,c) wordt primitief genoemd als a, b en c geen deler anders dan 1 gemeen hebben.


Karakterisering[bewerken]

Voor alle positieve gehele getallen m en n met m > n geldt dat het drietal (a,b,c), waarin

a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2

een Pythagorees drietal is. Immers:

a^2 + b^2 = (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4-2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = (m^2+n^2)^2 = c^2

Het is primitief dan en slechts dan als m en n relatief priem zijn en een van hen een even getal is. (Zijn zowel n als m oneven, dan zijn a, b, en c allemaal even en is het drietal dus niet primitief.)

Niet alle drietallen kunnen op deze wijze gegenereerd worden, maar wel alle primitieve drietallen. Dit laat tevens zien dat er oneindig veel primitieve Pythagorese drietallen bestaan.

Eigenschappen van primitieve Pythagorese drietallen[bewerken]

Tenzij anders vermeld gelden de onderstaande eigenschappen voor primitieve Pythagorese drietallen. De getallen a en b worden de benen genoemd, en het getal c de hypothenusa. Met b wordt het even been aangegeven en met a het oneven been. De oppervlakte is ab/2.

  • (ca)(cb)/2 is steeds een kwadraatgetal. Dit geldt ook voor niet-primitieve drietallen. Deze eigenschap is nuttig om na te gaan of een bepaald drietal Pythagorees is. Het is wel alleen een noodzakelijke voorwaarde, maar niet voldoende. Zo heeft het drietal {6, 12, 18} deze eigenschap, maar is niet Pythagorees.
  • cb en (ca)/2 zijn beide kwadraatgetallen. Ook dit is een noodzakelijke, maar niet voldoende voorwaarde. Een tegenvoorbeeld is het drietal (1,8,9).
  • De som a + b + c is even. Geldt ook voor niet-primitieve drietallen.
  • Ten hoogste een van a, b, en c is een kwadraat.
  • Er zijn oneindig veel drietallen met een kwadraatgetal als hypotenusa.
  • Er zijn oneindig veel drietallen waarvan een van de benen een kwadraatgetal is.
  • c + b is het kwadraat van een oneven getal.
  • (c + a)/2 is een kwadraatgetal
  • De oppervlakte is geen kwadraatgetal en ook niet het dubbele van een kwadraatgetal.
  • Het getal c is oneven
  • Precies een van de getallen a en b is oneven.
  • Precies een van de getallen a en b is deelbaar door 3.
  • Precies een van de getallen a en b is deelbaar door 4.
  • Precies een van de getallen a en b en c is deelbaar door 5.
  • Precies een van de getallen a , b , a + b en ba is deelbaar door 7.
  • Precies een van de getallen a + c, b + c, ca en cb is deelbaar door 8.
  • Precies een van de getallen a + c, b + c, ca en cb is deelbaar door 9.
  • Precies een van de getallen a, b, 2a + b, |2ab|, 2b + a en, 2ba is deelbaar door 11.
  • Precies een van de getallen a, b, c, 2c + a, 2c + b, 2ca en 2cb is deelbaar door 13
  • Elke priemfactor van c is van de vorm 4n + 1.
  • Ieder geheel getal groter dan 2 dat niet van de vorm 4n + 2 is, maakt deel uit van een drietal.
  • Ieder geheel getal groter dan 2 maakt deel uit van een primitief drietal of van een niet primitief drietal.
  • Er zijn oneindig veel drietallen waarvoor cb = 1.
  • Bij ieder oneven getal j zijn er oneindig veel drietallen waarvoor cb = j 2.
  • Er zijn oneindig veel drietallen waarvoor ca = 2. Er is geen drietal waarvoor c-b=2 omdat c oneven en b even is.
  • Bij ieder oneven positief getal k zijn er oneindig veel drietallen waarvoor co = 2k 2.
  • Er zijn oneindig veel drietallen waarvoor ba = 1. Voorbeeld:  20^2 + 21^2 = 29^2 .
  • Bij elke twee oneven positieve gehele getallen j en k is er precies een drietal met  a + j^2 = c = b + 2^k.
  • Voor elk drietal is ce = j 2 met j oneven en co = 2k 2 met k > 0.
  • Bij elk natuurlijk getal n zijn er n drietallen met dezelfde oppervlakte, maar verschillende c.
  • Bij elk natuurlijk getal n zijn er ten minste n drietallen met dezelfde a.
  • Bij elk natuurlijk getal n zijn er ten minste n drietallen met dezelfde c.
  • Voor ieder drietal zijn de straal van de ingeschreven cirkel en de stralen van de aangeschreven cirkels gehele getallen. De straal van de ingeschreven cirkel is \scriptstyle r = n(m-n) , en voor de benen m2n2 en 2mn en de hypothenusa m2+n2 zijn de stralen van de aangeschreven cirkels respectievelijk m(m − n), n(m + n) en m(m + n).
  • Als het oppervlak van een drietal gedeeld wordt door respectievelijk de stralen van de ingeschreven cirkel en de stralen van de aangeschreven cirkels ontstaan vier natuurlijke getallen w>x>y>z waarvoor geldt dat w, x, y en –z voldoen aan de cirkelvergelijking van Descartes.[1]
  • Er is geen drietal waarvan de hypotenusa en een been de benen zijn van en anger Pythagorees drietal[2]
  • De primitieve Pythagorese drietallen vormen op een natuurlijke manier een ternaire boom; zie boom van primitieve Pythagorese drietallen.
  • Er zijn oneindig veel drietallen waarvan zowel c als a+b een kwadraat is. Het 'kleinste' van zulke drietallen is[3] a = 4.565.486.027.761, b = 1.061.652.293.520 en c = 4.687.298.610.289. Er geldt: a+b = 2.372.1592 en c = 2.165.0172. Dit drietal wordt voortgebracht door de formule van Euclides met parameters m = 2.150.905 en n = 246.792.
  • Voor ieder drietal is de verhouding van de oppervlakte A en het kwadraat van de halve omtrek s een uniek getal, gegeven door[4]
\frac{A}{s^2} = \frac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\frac{c}{s}.

Ternaire boom[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Boom van Pythagorese drietallen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

in 1934 toonde Berggren aan dat alle primitieve Pythagorese drietallen afgeleid kunnen worden van het "kleinste" drietal (3, 4, 5) met behulp van drie lineaire transformaties die voorgesteld worden door de matrices:


\begin{array}{lcr}
T_1 = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \end{bmatrix} &
T_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} &
T_3 = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{bmatrix}
\end{array}

Van elk primitief Pythagorees drietal (a,b,c), opgevat als kolomvector, worden door deze transformaties drie nieuwe primitieve Pythagorese drietallen afgeleid. Er ontstaan geen dubbele drietallen en beginnend bij (3,4,5) worden alle primitieve Pythagorese drietallen gevormd. De generatie die volgt op de "ouder" (3,4,5) is:


\begin{array}{lcr}
\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 \\ 12 \\ 13 \end{bmatrix},&
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 21 \\ 20 \\ 29 \end{bmatrix},&
\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 15 \\ 8\\ 17 \end{bmatrix}.
\end{array}

Toepassing[bewerken]

Het eenvoudigste Pythagorees drietal (3,4,5) is bekend om zijn toepassing voor het bepalen van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Bernhart, Frank R. en Price, H. Lee, =Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles, arXiv, 2005, 29 blz.
  2. Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine analysis," in second half of R. D. Carmichael, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publ., 1959.
  3. Pickover, Clifford A., The Math Book, Sterling, 2009: blz. 40.
  4. Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B., "Heron triangles and moduli spaces", Mathematics Teacher 101, May 2008, 656—663.