Pythagorese drietallen
Een Pythagorees drietal (a, b, c) bestaat uit drie positieve gehele getallen a, b, c met a < b < c waarvoor geldt a2 + b2 = c2. De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.
Op kleitabletten uit de tijd van Hammurabi komen al Pythagorese drietallen voor. Op het tablet Plimpton 322 bijvoorbeeld staan 15 drietallen, waaronder (56,90,106), (119,120,169) en zelfs (12709,13500,18541). Ook in India kende men zulke getallen. In de Baudhayana-Sulbasutra uit de 6e eeuw v.Chr. staan vijf zulke drietallen.
Er zijn oneindig veel Pythagorese drietallen. In de onderstaande tabel staan de eerste zes.
-
a b c 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15
Met het drietal (3,4,5) vormen ook de veelvouden, zoals (6,8,10) en (9,12,15) Pythagorese drietallen. Algemeen is met (a,b,c) ook (ka,kb,kc) voor elk positief geheel getal k een Pythagorees drietal.
Een Pythagorees drietal (a,b,c) wordt primitief genoemd als a, b en c geen deler gemeen hebben.
Voor alle positieve gehele getallen m en n met m > n geldt dat het drietal (a,b,c), waarin
- a = m2 − n2
- b = 2mn
- c = m2 + n2
een Pythagorees drietal is. Het is primitief dan en slechts dan als m en n relatief priem zijn en een van hen een even getal is. (Zijn zowel n als m oneven, dan zijn a, b, en c allemaal even en is het drietal dus niet primitief.)
Niet alle drietallen kunnen op deze wijze gegenereerd worden, maar wel alle primitieve drietallen. Dit laat tevens zien dat er oneindig veel primitieve Pythagorese drietallen bestaan.
[bewerken] Toepassing
Het eenvoudigste Pythagorees drietal (3,4,5) is bekend om zijn toepassing voor het bepalen van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.
