QR-decompositie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een QR-decompositie van een vierkante matrix A een opsplitsing van die matrix in een product

A=QR

van een orthogonale matrix Q en een bovendriehoeksmatrix R. QR-decompositie kan gegeneraliseerd worden voor niet-vierkante matrices, waarbij de bovendriehoeksmatrix geen vierkante matrix is, maar dezelfde afmetingen heeft als A.

QR-decompositie wordt bij de kleinste-kwadratenmethode veel gebruikt voor het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen. Het is de basis voor het QR-algoritme, een speciaal algoritme voor het eigenwaarde-probleem.

Als de matrix A n lineair onafhankelijke kolommen heeft, vormen de eerste n kolommen van Q een orthonormale basis voor de kolommenruimte van A. In het bijzonder vormen voor 1\le k \le n de eerste k kolommen van Q een orthonormale basis voor de ruimte die wordt opgespannen door de eerste k kolommen van A.[1] Als gevolg hiervan is de matrix R een driehoeksmatrix.[1]

De QR-decompositie kan op verschillende manieren berekend worden:

Voetnoten[bewerken]

  1. a b L. N. Trefethen en D. Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).

Externe links[bewerken]

  • Online Matrix Calculator Performs QR decomposition of matrices.
  • LAPACK users manual gives details of subroutines to calculate the QR decomposition
  • Mathematica users manual gives details and examples of routines to calculate QR decomposition
  • ALGLIB includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
  • Eigen::QR Includes C++ implementation of QR decomposition.
  • Into contains an open source implementation of QR decomposition in C++.