Quotiëntenlichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een quotiëntenlichaam is in de wiskunde het lichaam dat wordt gemaakt uit een integriteitsdomein of integriteitsgebied. De elementen van een quotiëntenlichaam veralgemenen het begrip rationaal getal.

Een belangrijk voorbeeld is dan ook het lichaam \mathbb{Q} der rationale getallen, als quotiëntenlichaam van het integriteitsdomein \mathbb{Z} der gehele getallen.

Een synoniem voor quotiëntenlichaam is breukenlichaam.

Constructie[bewerken]

Zij R een integriteitsdomein. Men construeert zijn quotiëntenlichaam als volgt. Beschouw eerst het Cartesisch product

\overline{R} = R\times\left(R\setminus\{0\}\right)=\left\{(r,s)\in R \times R :s\ne0\right\}

Op \overline{R} beschouwen we de volgende relatie \sim:

(r,s) \sim (u,v) \Leftrightarrow r \cdot v = s \cdot u

Dit is een equivalentierelatie. De onderliggende verzameling van het quotiëntenlichaam bestaat uit de equivalentieklassen van deze equivalentierelatie en wordt Q(R) genoteerd.

Een optelling en een vermenigvuldiging in Q(R) laten zich als volgt definiëren:

(r,s) + (u,v) = (r.v + s.u, s.v)
(r,s) \cdot (u,v) = (r.u, s.v).

Men kan nagaan dat deze bewerkingen goed gedefinieerd zijn in de zin dat de equivalentieklasse van het resultaat niet afhangt van de gekozen vertegenwoordiger in de equivalentieklassen van de operanda. Men kan eveneens nagaan dat deze bewerkingen van de verzameling der equivalentieklassen een lichaam maken.

De equivalentieklasse van het koppel (r,s) wordt meestal genoteerd als de breuk \frac{r}{s}, of r/s, of als de deling rs-1. Men noemt r de teller en s de noemer van de breuk. Eenzelfde breuk kan meestal met verschillende tellers en noemers genoteerd worden, die overeenkomen met de verschillende elementen van één equivalentieklasse.

Voorbeelden[bewerken]

  • Zoals hierboven aangegeven zijn de rationale getallen de breuken waarvan de tellers en noemers gehele getallen zijn.
  • Ieder lichaam is een integriteitsdomein, en is gelijk aan zijn eigen breukenlichaam.
  • De polynomen in één veranderlijke met coëfficiënten in een gegeven lichaam k vormen een integriteitsdomein k[X]. Het breukenlichaam bestaat uit de veeltermbreuken of rationale functies en wordt k(X) genoteerd.
  • De analytische functies op een open deelverzameling der complexe getallen vormen een integriteitsgebied. Het quotiëntenlichaam bestaat uit de meromorfe functies.

Inbedding van een integriteitsdomein in zijn quotiëntenlichaam[bewerken]

De functie die elk oorspronkelijk ringelement r afbeeldt op de breuk r/1 is een ringhomomorfisme van R naar Q(R). Dit homomorfisme is injectief, dus R is isomorf met een deelring van Q(R).

Het quotiëntenlichaam is het kleinste lichaam dat R omvat, in de zin dat ieder lichaam dat R omvat, een deellichaam heeft dat isomorf is met Q(R).

Lokalisatie[bewerken]

Bovenstaande constructie kan nog op twee manieren verder veralgemeend worden. Enerzijds laat men de eis vallen dat R een domein is, dus R is een willekeurige commutatieve ring met eenheidselement. Anderzijds neemt men als noemerverzameling niet noodzakelijk R0, maar een willekeurige deelverzameling S van R die multiplicatief gesloten is, dat wil zeggen dat het product van twee willekeurige elementen van S opnieuw in S ligt.

We definiëren als volgt een equivalentierelatie \sim op de productverzameling R\times S:

(r,s) \sim (u,v) \Leftrightarrow\exists x\in S:x\cdot(r \cdot v - s \cdot u)=0

Het rechterlid is een beetje ingewikkelder dan hierboven omdat R niet noodzakelijk nuldelervrij is. Als we de oorspronkelijke definitie zouden handhaven, dan is de transitiviteit van de relatie niet langer gegarandeerd.

De verzameling der equivalentieklassen wordt breukenring of lokalisatie van R in S genoemd, en genoteerd RS of RS-1

Voorbeeld[bewerken]

Als p een priemideaal is van R, dan is de complementverzameling R-p multiplicatief gesloten. Men spreekt van de lokalisatie van R in het priemideaal p en noteert (enigszins inconsequent) Rp. Deze ring bestaat uit breuken waarvan de noemer niet in p ligt. Het is een lokale ring, wat de benaming lokalisatie verantwoordt. Zijn uniek maximaal ideaal bestaat uit de veelvouden van elementen van p (strikt genomen: van de breuken waarvan de teller een veelvoud is van p, en de noemer niet).

Het quotiëntenlichaam van een domein is hiervan een bijzonder geval, dat ontstaat door naar het priemideaal {0} te kijken.

Inbedding[bewerken]

De hierboven gedefinieerde afbeelding die r op r/1 afbeeldt, is nog steeds een homomorfisme van ringen. Ze is evenwel slechts injectief als R een integriteitsdomein is.