RLC-kring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een RLC-circuit is een elektrisch circuit dat ook wel resonantiekring genoemd wordt. Deze schakeling bestaat uit een weerstand (R), een spoel/inductie (L), een condensator (C), welke in serie of parallel zijn geschakeld. Een RLC-circuit wordt een tweede-orde circuit genoemd omdat de spanning of de stroom in het circuit beschreven kan worden met een tweede-orde differentiaalvergelijking.

Elektrische resonantie[bewerken]

In elektronische schakelingen kan resonantie worden bereikt door een spoel en een condensator met elkaar te verbinden (in een LC-kring). Een weerstand is voor de resonantie niet nodig, echter in praktijk bevindt zich altijd een zekere weerstand in het circuit. Deze schakeling wordt dan ook veel als LC-kring aangeduid.

Resonantiefrequentie[bewerken]

Een ideale LC-kring bevat geen weerstand. Als deze kring wordt aangesloten, bijvoorbeeld door de condensator op te laden, ontstaat een oscillatie met frequentie f0, waarbij periodiek energie van de condensator naar de spoel gaat en omgekeerd. Zonder weerstand treden geen verliezen op en zal de kring blijven oscilleren.

De resonantie hoekfrequentie ω0 (in radialen per seconde) wordt gegeven door:

\omega_0 = \frac{1} {\sqrt {L.C}}

waarin

L de zelfinductie van de spoel in henry, en
C de capaciteit van de condensator in farad

De resonantiefrequentie f0 in hertz wordt gevonden uit:

\ f_0 = \frac {\omega_0} { 2 \pi} = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}

Resonantie treedt op wanneer de complexe impedantie ZLC van de LC-kring 0 wordt:

ZLC = ZL + ZC = 0

Beide impedanties zijn een functie van de complexe hoeksnelheid s:

ZL = Ls

Gelijk stellen van deze frequenties en oplossen voor s, levert:

 s = \pm j \omega_o = \pm j {1 \over \sqrt{L C}}

De resonantie frequentie ωo wordt gegeven in de bovenstaande uitdrukking voor de resonantie hoekfrequentie.

Dempingsfactor[bewerken]

De dempingsfactor van het resonantie circuit (in radialen per seconde) is:

\zeta = {R \over 2L}

Toepassingen van resonantiecircuits vragen om een zo klein mogelijke demping. In praktijk wordt dit bereikt door de weerstand R in het circuit zo klein mogelijk te maken als fysiek mogelijk is. In dit geval wordt het RLC-circuit een goede benadering van het ideale LC-circuit welke in praktijk niet realiseerbaar is. (Zelfs als er geen weerstand in het circuit is opgenomen is er altijd sprake van een zeer kleine maar niet verwaarloosbare weerstand van de draden, componenten en aansluitingen tussen de onderdelen welke niet helemaal kan worden geëlimineerd.)

De karakteristieke impedantie[bewerken]

De karakteristieke impedantie Z 0 (eenheid Ω) geeft het quotiënt van amplitude van spanning en stroom in de LC-kring op de resonantiefrequentie, en wordt berekend uit:

 Z_0 = \sqrt { \frac {L} {C}}

De kwaliteitsfactor Q[bewerken]

De kwaliteitsfactor Q van het serie geschakelde circuit wordt berekend als de verhouding tussen de resonantiefrequentie \omega_o en de bandbreedte \Delta \omega (in radialen per seconde):

Q_s =   {\omega_o \over \Delta \omega } = {\omega_o \over 2\zeta } = {L \over R \sqrt{LC}} = {1 \over R} \sqrt{L \over C}

Of in hertz:

Q_s = {f_o \over \Delta f} = {2 \pi f_o L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}} =  {1 \over R} \sqrt{L \over C}

Voor het parallel geschakelde circuit:

Q_p = {1 \over Q_s}

De kwaliteitsfactor Q is een dimensieloze grootheid.

Circuitanalyse[bewerken]

Serieschakeling van R,L en C met Thévenin-spanningsbron[bewerken]

In dit circuit zijn alle drie de componenten in serie geschakeld met de spanningsbron.

RLC in serie circuit

Hierin is:

v - de spanning van de spanningsbron in volt (V);
i - de stroom door het circuit in ampère A);
R - de weerstand in Ohm (Ω = V/A );
L - the inductie van de spoel in Henry ( H = V·s/A);
C - the capaciteit van de condensator in Farad (F = C/V = A·s/V).

Gegeven de parameters v, R, L, en C, kan de oplossing voor de stroom (I) worden gevonden door gebruik te maken van Kirchhoff's spanningswet (De tweede wet van Kirchhoff):

{v_R+v_L+v_C=v}

Met een wisselende spanning v(t), wordt dit

Ri(t) + L { {di} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{t} i(\tau)\, d\tau = v(t)

Het uitwerken van deze vergelijking leidt tot de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking:

{{d^2 i} \over {dt^2}} +{R \over L} {{di} \over {dt}} + {1 \over {LC}} i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}

We definiëren nu twee kernparameters:

 \zeta = {R \over 2L}

en

\omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}

beide worden gemeten in radialen per seconde.

Vervangen van deze parameters in de differentiaalvergelijking levert:


{{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_0^2 i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}

De Zero Input Response (ZIR) oplossing[bewerken]

Schakelen we de spanningsbron op nul, dan krijgen we:

{{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_o^2  i(t) = 0

met de initiële conditie voor de stroom door de spoel, IL(0), en de spanning over de condensator VC(0). Om de vergelijking netjes op te lossen, hebben we ook de initiële condities voor I(0) en I'(0) nodig.

De eerste hebben we al omdat de stroom door het circuit ook de stroom door de spoel is. Dus:

i(0)=i_L(0)

De tweede kan weer worden verkregen door Kirchhoff's spanningswet (De tweede wet van Kirchhoff):

v_R(0)+v_L(0)+v_C(0)=0
\Rightarrow i(0)R+i'(0)L+v_C(0)=0
\Rightarrow i'(0)={1 \over L}\left[-v_C(0)-I(0)R \right]

We hebben nu een homogene tweede-orde differentiaalvergelijking met twee begincondities. Vervangen van de twee parameters ζ en ω0 levert

i''+2\zeta i' + \omega_0^2 i = 0

We kunnen deze vorm van de vergelijking converteren in zijn karakteristieke polynoom

\lambda^2 + 2 \zeta \lambda + \omega_0^2 = 0

Door toepassing van de ABC-formule kunnen we de wortels vinden:

 \lambda = -\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_0^2}

Afhankelijk van de waarden van α en ω0 zijn er drie mogelijke verschillende toestanden:

overdemping[bewerken]
RLC in serie overgedempt
\zeta>\omega_0 \Rightarrow RC>4 { L \over R}

In dit geval zijn de oplossingen van de karakteristieke polynoom allebei negatieve reële getallen. Dit geval wordt "overdemping" genoemd.

De oplossingen voor twee negatieve wortels zijn:

I(t)=A e^{\lambda_1 t} + B e^{\lambda_2 t}


kritische demping[bewerken]
RLC in serie kritisch gedempt
\zeta=\omega_0 \Rightarrow RC=4 { L \over R }

In dit geval zijn de oplossingen van de karakteristieke polynoom gelijke negatieve reële getallen. Dit geval wordt "kritische demping" genoemd.

De twee wortels zijn identiek: ( \lambda_1=\lambda_2=\lambda ), de oplossingen zijn:

I(t)=(A+Bt) e^{\lambda t}

voor willekeurige constanten A en B

onderdemping[bewerken]
\zeta<\omega_0 \Rightarrow RC<4 { L \over R }

In dit geval zijn de oplossingen complex geconjugeerde, en hebben ze een negatief reëel deel. Deze situatie wordt "onderdemping" genoemd en leidt tot oscillatie (resonantie) in het circuit. De oplossing bestaat uit twee geconjugeerde wortels

\lambda_1 = -\zeta + i\omega_c

en

\lambda_2 = -\zeta - i\omega_c

waarin

\omega_c = \sqrt{\omega_o^2 - \zeta^2}

De oplossingen zijn:

i(t) = Ae^{(-\zeta + i )t} + Be^{(-\zeta - i \omega_c)t}

voor willekeurige constanten A en B.

Gebruik makend van Euler's formule kunnen we de oplossing vereenvoudigen tot:

i(t)=e^{-\zeta t} \left[ C \sin(\omega_c t) + D \cos(\omega_c t) \right]

voor willekeurige constanten C en D.

Deze oplossingen worden gekarakteriseerd door een exponentieel afvallende sinusvormige respons. De tijd die nodig is voor de oscillatie om uit te sterven hangt af van de kwaliteitsfactor Q van het circuit. Hoe hoger de kwaliteitsfactor, des te langer het duurt voor de oscillatie is uitgestorven.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]