Ramanujan-thètafunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In wiskunde veralgemeent de Ramanujan-thètafunctie de vorm van de jacobische thèta-functies, terwijl het ook hun algemene eigenschappen opneemt. In het bijzonder neemt het Jacobi-drievoudig product een bijzonder elegante vorm aan wanneer het geschreven wordt in termen van de Ramanujanthèta. De functie is vernoemd naar Srinivasa Aaiyangar Ramanujan.

Definitie[bewerken]

De Ramanujanthètafunctie wordt gedefinieerd als

f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}

voor |ab|<1. De identiteit van het Jacobisch-drievoudige product neem dan de vorm aan van

f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty.

Hier duidt de uitdrukking (a;q)_nhet q-Pochhammersymbool. Identiteiten die hieruit volgen bevatten

f(q,q) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} = 
\frac {(-q;q^2)_\infty (q^2;q^2)_\infty}
{(-q^2;q^2)_\infty (q; q^2)_\infty}

en

f(q,q^3) = \sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)/2} = 
\frac {(q^2;q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty}

en

f(-q,-q^2) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = 
(q;q)_\infty

Dit laatste zijnde een Euler-functie, die nauw verwant is aan de Dedekind-η-functie.

Bronnen

  • (en) W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
  • (en) George Gasper en Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.