Rationale functie

Een rationale functie is een functie van de vorm Q(x) = T(x) / N(x), waarbij de teller T(x) en de noemer N(x) een polynoom - dus een veelterm - voorstellen. Een rationale functie is dus een uitbreiding van de polynomen en tegelijk een veralgemening van de rationale getallen.

Algemener spreken we van een rationale functie in n veranderlijken over een ring R als een object van de vorm

$Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)={T(x_1,x_2,\ldots,x_n)\over N(x_1,x_2,\ldots,x_n)}$

waar T en N polynomen zijn in n veranderlijken met coëfficiënten in R.

Als R een lichaam is, dan moeten we onderscheid maken tussen het abstracte object Q(x) als formele veeltermbreuk enerzijds, en de partiële afbeelding

$Q:D=\{r\in R|N(r)\neq0\}\to R:r\mapsto T(r)/N(r)$

anderzijds. Twee formele veeltermbreuken T_1/N_1 en T_2/N_2 worden als identiek beschouwd als ze "na vereenvoudiging" in elkaar overgaan:

T₁(x).N₂(x) = T₂(x).N₁(x)

Met name bij eindige lichamen is het mogelijk dat het linker- en rechterlid in bovenstaande gelijkheid verschillend zijn als veeltermen (verschillende coëfficiënten hebben), maar in alle elementen r van R dezelfde waarde aannemen.

De verzameling der formele veeltermbreuken over een ring R wordt aangeduid met R(x) of $R(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Ter onderscheid gebruikt men meestal rechte haken voor de polynomenring: R[x] of $R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$.

Rationale functies komen voor in veel takken van de wiskunde en de techniek: onder andere in regeltechniek, elektrotechniek en communicatietechniek. Dikwijls komen de rationale functies voort van Laplacetransformatie of Fouriertransformatie van een differentiaalvergelijking.

Speciale Gevallen

Wanneer bij de rationele functie de noemer een nulpunt heeft die géén nulpunt is van de teller spreekt men van een Verticale Asymptoot.