Reëel getal

De reële getallen zijn de getallen die op eenduidige wijze overeenkomen met punten op een rechte. Deze rechte wordt de getallenas, getallenlijn, getallenrechte of reële rechte genoemd. Zo kunnen we ons intuïtief de verzameling van de reële getallen, die wordt genoteerd als $\mathbb{R}$ en soms het continuüm wordt genoemd, voorstellen.

De verzameling $\mathbb{R}$ bestaat uit de rationale en de irrationale getallen. Een voorbeeld van een irrationaal getal is het getal $\sqrt{2}$ (de vierkantswortel van twee). Een ander voorbeeld is het getal π, dat niet alleen irrationaal, maar zelfs een transcendent getal is. Het bewijs dat irrationale getallen bestaan creëerde de noodzaak om de verzameling van de rationale getallen uit te breiden.

Rationale getallen kunnen behalve als gewone breuk, ook geschreven worden als decimale breuk, met eindig veel decimalen of met repeterende decimalen. Een irrationaal getal kan vanwege de verderop genoemde eigenschap dat $\mathbb{R}$ volledig is, willekeurig dicht benaderd worden door een rationaal getal, en dus met iedere graad van nauwkeurigheid benaderend geschreven worden als een decimale breuk. Het is zo mogelijk een (abstracte) voorstelling van de reële getallen te maken als decimale breuken, met in het geval van de irrationale getallen oneindig veel decimalen. Zo weten we precies wat de getallen $\sqrt{2}$ en π zijn, maar van hun decimale voorstelling kennen we uiteraard maar eindig veel decimalen.

De verzameling van de reële getallen kan men voorzien van een optelling en een vermenigvuldiging zodat men een lichaam (Ned. term) of veld (Be. term) verkrijgt. Eenvoudig gezegd betekent dit dat men op de voor de hand liggende manier met de getallen kan rekenen (zoals π+145 = 145 + π).

Er zijn veeltermvergelijkingen in één veranderlijke, zoals de vierkantsvergelijking $x^2+1=0$, die geen (reële) oplossingen hebben ofwel irreducibel (niet-reduceerbaar) zijn. Men zegt dat het lichaam $\mathbb{R}$ niet algebraïsch gesloten is. Er bestaat echter een uitbreiding van $\mathbb{R}$, namelijk de complexe getallen $\mathbb{C}$, waarin elke algebraïsche vergelijking een oplossing heeft.

De absolute waarde $|a|$ van een reëel getal $a$ is dat getal zelf, indien het niet negatief is, of anders zijn tegengestelde $-a$. De absolute waarde is een norm op $\mathbb{R}$, dus de functie $d(x,y)=|x-y|$ bepaalt een afstandsfunctie of metriek op $\mathbb{R}$. Als metrische ruimte is $\mathbb{R}$ volledig.

Formele invoering

Reële getallen op de getallenlijn

De eigenschappen van de gehele getallen en rationale getallen kunnen vrij direct uit die van de natuurlijke getallen worden afgeleid, en even makkelijk kan worden aangetoond dat de definities van optelling en vermenigvuldiging binnen die verzamelingen equivalent zijn met die van de natuurlijke getallen. Bij de irrationale getallen, die niet in rationale, laat staan gehele, getallen kunnen worden uitgedrukt, ligt dat niet zo eenvoudig. Om te garanderen dat de regels voor irrationale getallen hetzelfde zijn als voor rationale (en dus ook gehele) getallen worden de getallen daarom bijvoorbeeld ingesloten in rijen inkrimpende intervallen met rationale getallen als grenzen. Voor het getal √2 wordt dat bijvoorbeeld de rij

[1; 2], want na kwadrateren zien we dat 1 < 2 < 4

[1,4; 1,5], want 1,96 < 2 < 2,25

[1,41; 1,42], want 1,9881 < 2 < 2,0164 enz.

Op deze manier kan ook de som of het product van twee irrationale getallen worden ingeklemd tussen rationale getallen, waarvan de eigenschappen bewezen zijn.

Een andere, gelijkwaardige, definitie van de reële getallen berust op het volgende idee: Beschouw rijen van rationale getallen die "willekeurig dicht bij elkaar gaan liggen". Een voorbeeld is 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64, ... : de "afstand" tussen getallen verderop in de rij wordt steeds kleiner, en wordt zelfs kleiner dan elk willekeurig klein positief rationaal getal. Deze rij is daarom een Cauchyrij. Voor een dergelijke rij kan men een reëel getal vinden waar die rij "naar toe gaat" (1 in het voorbeeldje): de limietwaarde. Formeel heet het dat de rij convergeert naar het getal 1. Men kan van een rij getallen aantonen dat het een Cauchyrij is zonder te hoeven uitrekenen naar welk getal de rij convergeert, het maakt daarbij ook niet uit of die limiet rationaal of irrationaal is. Hierdoor is het mogelijk een rationaal en vooral een irrationaal getal te definiëren als de limiet van een Cauchyrij. De som en het product van Cauchyrijen zijn namelijk ook weer Cauchyrijen. De reële getallen worden vervolgens gedefinieerd als de verzameling van alle mogelijke (zowel rationale als niet-rationale) limieten van dergelijke Cauchyrijen.

Constructie vanuit de rationale getallen

De reële getallen kunnen geconstrueerd worden als generalisatie van de rationale getallen. Als eerste wordt wel Karl Weierstrass genoemd, die de reële getallen definieerde met behulp van begrensde rijen van positieve rationale getallen.

Gebruikelijk constructies zijn:

• Snede van Dedekind: Een reëel getal wordt gedefinieerd als het supremum van een naar boven begrensde deelverzameling rationale getallen.

• Als equivalentieklassen van Cauchyrijen. Deze constructie is afkomstig van Georg Cantor. Hij definieerde een reëel getal als equivalentieklasse van een Cauchyrij van rationale getallen, waarbij twee rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.

• Door intervalschakeling. Een reëel getal wordt gedefinieerd als equivalentieklasse van geschakelde intervallen van rationale getallen.

De drie bovenstaande constructies leiden, op isomorfie na, tot dezelfde structuur.

Axiomatisch

De reële getallen laten zich ook axiomatisch karakteriseren. Zij vormen het enige volledige geordende lichaam (NL).

Kardinaliteit

Zie Kardinaliteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Er zijn oneindig veel verschillende reële getallen, meer nog dan er natuurlijke getallen zijn. Echter, de natuurlijke getallen zijn aftelbaar in de zin dat men een systeem kan bedenken, zodat ieder benoembaar of construeerbaar natuurlijk getal na een eindig aantal stappen bereikt zal worden. Voor de reële getallen geldt dat niet, daarom wordt hun kardinaliteit aangeduid met overaftelbaar.

Door in overeenstemming met onze intuïtie het begrip "definieerbaar reëel getal" in te voeren als de verzameling reële getallen waarvoor een tekstuele definitie van eindig veel letters bestaat, kunnen we zien dat bijna alle reële getallen ondefinieerbaar zijn. Immers de verzameling van definities is als reeks van eindige strings aftelbaar oneindig, en daarmee zijn de definieerbare reële getallen aftelbaar oneindig.

Mediabestanden

Zie de categorie Real numbers van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.