Reëel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De reële getallen zijn de getallen die op eenduidige wijze overeenkomen met punten op een rechte. Deze rechte wordt de getallenas, getallenlijn, getallenrechte of reële rechte genoemd. Zo kunnen we ons intuïtief de verzameling van de reële getallen, die wordt genoteerd als \mathbb{R} en soms het continuüm wordt genoemd, voorstellen.

De verzameling \mathbb{R} bestaat uit de rationale en de irrationale getallen. Een voorbeeld van een irrationaal getal is het getal \sqrt{2} (de vierkantswortel van twee). Een ander voorbeeld is het getal π, dat niet alleen irrationaal, maar zelfs een transcendent getal is. Het bewijs dat irrationale getallen bestaan, creëerde de noodzaak om de verzameling van de rationale getallen uit te breiden.

Rationale getallen kunnen, behalve als gewone breuk, ook geschreven worden als decimale breuk, met eindig veel decimalen, of als repeterende breuk met oneindig veel, zich herhalende decimalen. Een irrationaal getal kan vanwege de verderop genoemde eigenschap dat \mathbb{R} volledig is, willekeurig dicht benaderd worden door een rationaal getal, en dus met iedere graad van nauwkeurigheid benaderend geschreven worden als een decimale breuk. Het is zo mogelijk zich een (abstracte) voorstelling van de reële getallen te maken als decimale breuken, met in het geval van de irrationale getallen oneindig veel decimalen. Zo weten we precies wat de getallen \sqrt{2} en π zijn, maar van hun decimale voorstelling kennen we uiteraard maar eindig veel decimalen.

De verzameling van de reële getallen kan men voorzien van de wiskundige operaties optelling en vermenigvuldiging waardoor men een lichaam (Ned. term) of veld (Be. term) verkrijgt. Eenvoudig gezegd betekent dit dat men op de voor de hand liggende manier met de getallen kan rekenen (zoals π + 145 = 145 + π).

Er zijn veeltermvergelijkingen in één variabele, zoals de vierkantsvergelijking x^2+1=0, die geen (reële) oplossingen hebben, ofwel irreducibel (niet-reduceerbaar) zijn. Men zegt dat het lichaam \mathbb{R} niet algebraïsch gesloten is. Er bestaat echter een uitbreiding van \mathbb{R}, namelijk de complexe getallen \mathbb{C}, waarin elke algebraïsche vergelijking een oplossing heeft.

De absolute waarde |a| van een reëel getal a is dat getal zelf, indien het niet negatief is, of anders zijn tegengestelde -a. De absolute waarde is een norm op \mathbb{R}, dus de functie d(x,y)=|x-y| bepaalt een afstandsfunctie of metriek op \mathbb{R}. Als metrische ruimte is \mathbb{R} volledig.

Formele invoering[bewerken]

Reële getallen op de getallenlijn

De eigenschappen van de gehele getallen en rationale getallen kunnen vrij direct uit die van de natuurlijke getallen worden afgeleid, en even gemakkelijk kan worden aangetoond dat de definities van optelling en vermenigvuldiging binnen die verzamelingen equivalent zijn met die van de natuurlijke getallen. Bij de irrationale getallen, die niet in rationale, laat staan gehele, getallen kunnen worden uitgedrukt, ligt dat niet zo eenvoudig. Om te garanderen dat de regels voor irrationale getallen hetzelfde zijn als voor rationale (en dus ook gehele) getallen, worden de getallen ingesloten in rijen krimpende intervallen met rationale getallen als grenzen. Voor het getal √2 wordt dat bijvoorbeeld de rij

[1; 2], want na kwadrateren zien we dat 1 < 2 < 4
[1,4; 1,5], want 1,96 < 2 < 2,25
[1,41; 1,42], want 1,9881 < 2 < 2,0164 enz.

Op deze manier kan ook de som of het product van twee irrationale getallen worden ingeklemd tussen rationale getallen, waarvan de eigenschappen bewezen zijn.

Een andere, gelijkwaardige, definitie van de reële getallen berust op het volgende idee: Beschouw rijen van rationale getallen met de eigenschap dat de elementen in de rij "willekeurig dicht bij elkaar gaan liggen". Een voorbeeld is de rij 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64, ... : de "afstand" tussen getallen verderop in de rij wordt steeds kleiner, en wordt zelfs kleiner dan elk willekeurig klein positief rationaal getal. Zulke rijen heten Cauchyrijen. Voor een dergelijke rij kan men een reëel getal vinden waar die rij "naar toe gaat" (1 in het voorbeeldje): de limietwaarde. Formeel heet het dat de rij convergeert naar het getal 1. Men kan van een rij getallen aantonen dat het een Cauchyrij is zonder te hoeven uitrekenen naar welk getal de rij convergeert, het maakt daarbij ook niet uit of die limiet rationaal of irrationaal is. Hierdoor is het mogelijk een rationaal en vooral een irrationaal getal te definiëren als de limiet van een Cauchyrij. De som en het product van Cauchyrijen zijn namelijk ook weer Cauchyrijen. De reële getallen worden vervolgens gedefinieerd als de verzameling van alle mogelijke (zowel rationale als niet-rationale) limieten van dergelijke Cauchyrijen.

Constructie vanuit de rationale getallen[bewerken]

De reële getallen kunnen geconstrueerd worden als een veralgemening van de rationale getallen. Als eerste wordt wel Karl Weierstrass genoemd, die de reële getallen definieerde met behulp van begrensde rijen van positieve rationale getallen.

Gebruikelijk constructies zijn:

  • Als equivalentieklassen van Cauchyrijen. Deze constructie is afkomstig van Georg Cantor. Hij definieerde een reëel getal als equivalentieklasse van een Cauchyrij van rationale getallen, waarbij twee rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.

De drie bovenstaande constructies leiden, op isomorfie na, tot dezelfde structuur.

Axiomatisch[bewerken]

De reële getallen laten zich ook axiomatisch karakteriseren. Zij vormen het enige volledige geordende lichaam (NL).

Kardinaliteit[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Kardinaliteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Er zijn oneindig veel verschillende reële getallen, meer nog dan er natuurlijke getallen zijn. Echter, de natuurlijke getallen zijn aftelbaar in de zin dat men een systeem kan bedenken, zodat ieder benoembaar of construeerbaar natuurlijk getal na een eindig aantal stappen bereikt zal worden. Voor de reële getallen geldt dat niet, daarom wordt hun kardinaliteit aangeduid met overaftelbaar.

Door in overeenstemming met onze intuïtie het begrip "definieerbaar reëel getal" in te voeren als de verzameling reële getallen waarvoor een tekstuele definitie van eindig veel letters bestaat, kunnen we zien dat bijna alle reële getallen ondefinieerbaar zijn. Immers de verzameling van definities is als reeks van eindige strings aftelbaar oneindig, en daarmee zijn de definieerbare reële getallen aftelbaar oneindig.

Geschiedenis[bewerken]

Eenvoudige breuken werden door de antieke Egyptenaren vanaf ongeveer 1000 v.Chr. gebruikt; de Vedische "Sulba Sutra" ("De regels van de koorden") uit ongeveer 600 v.Chr. bevat een beschrijving, die misschien als het eerste "gebruik" van irrationale getallen kan worden gezien. Het concept van irrationaliteit werd door vroege Indiase wiskundigen, zoals Manava (ca. 750-690 v.Chr.), die zich ervan bewust waren dat de wortels van bepaalde getallen, zoals 2 en 61 niet exact konden worden bepaald, impliciet aanvaard.[1] Rond 500 v.Chr beseften Griekse wiskundigen onder invloed van Pythagoras de noodzaak voor irrationale getallen, in het bijzonder de irrationaliteit van de √2.

De middeleeuwen brachten de aanvaarding van nul, negatieve, geheeltallige en gebroken getallen, eerst door Indiase en Chinese wiskundigen, en later ook door Islamitische wiskundigen. De laatsten waren ook de eersten om irrationale getallen als algebraïsche objecten te behandelen.[2] Dit werd mogelijk gemaakt door de ontwikkeling van de algebra. Arabische wiskundigen fuseerden de begrippen "getal" en "grootte" tot het meer algemene concept van reële getallen [3] De Egyptische wiskundige Abu Kamil Shuja ibn Aslam (ca. 850-930) was de eerste die irrationele getallen accepteerde als oplossingen voor vierkantsvergelijkingen of als coëfficiënten in een vergelijkingen, vaak in de vorm van wortels, derdemachtswortels en de vierdemachtswortels.[4]

In de 16e eeuw legde de Vlaming Simon Stevin de basis voor de moderne decimale notatie. Hij maakte duidelijk dat er in de decimale notatie geen verschil is tussen rationale en irrationale getallen.

In de 17e eeuw introduceerde René Descartes de term "reëel" om de wortels van een veelterm te beschrijven, om zo een onderscheid te kunnen maken tussen "reële" en "imaginaire" wortels.

In de 18e en 19e eeuw werd er veel werk verricht aan de irrationale en transcendente getallen. Johann Heinrich Lambert (1761) gaf het eerste gebrekkige bewijs dat π geen rationaal getal kan zijn. Adrien-Marie Legendre (1794) voltooide het bewijs en toonde aan dat π geen vierkantswortel van een rationaal getal kan zijn. Paolo Ruffini (1799) en Niels Henrik Abel (1842) construeerden beide bewijzen voor de stelling van Abel-Ruffini: dat de algemene vijfdegraadsvergelijking en vergelijkingen van hogere graad niet kunnen worden opgelost door een algemene formule die alleen rekenkundige bewerkingen en wortels bevat.

Évariste Galois ontwikkelde in 1832 technieken om te bepalen of een gegeven vergelijking al of niet door radicalen kan worden opgelost. Verdere uitwerking van zijn ideeën leidde later tot de ontwikkeling van de Galoistheorie. Joseph Liouville (1840) toonde aan dat noch e noch e2 een wortel kan zijn van een geheeltallige vierkantsvergelijking; vervolgens stelde hij het bestaan van transcendente getallen vast. Dit bewijs is later verdrongen door dat van Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) bewees als eerste dat e transcendent is en Ferdinand von Lindemann (1882) toonde aan dat π transcendent is. Lindemanns bewijs is later sterk vereenvoudigd door Karl Weierstrass (1885), en later nog meer door David Hilbert (1893). Het bewijs is uiteindelijk elementair gemaakt door Adolf Hurwitz en Paul Gordan.

De ontwikkeling van de analyse in de 18e eeuw maakte gebruik van de volledige verzameling van reële getallen zonder dat deze netjes waren gedefinieerd. De eerste strikte definitie werd in 1871 door Georg Cantor gegeven. In 1874 toonde hij aan dat de verzameling van alle reële getallen overaftelbaar oneindige is, maar dat de verzameling van alle algebraïsche getallen aftelbaar oneindig is. In tegenstelling tot wat algemeen wordt aangenomen, was zijn eerste methode niet zijn beroemde diagonaalbewijs, dat hij pas in 1891 publiceerde. Zie Cantors eerste overaftelbaarheidsbewijs.

Voetnoten[bewerken]

  1. T.K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", blz. 410-1 , in Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Helaine Selin, Ubiratan D' Ambrosio, 2000, Springer, ISBN 1-4020-0260-2
  2. MacTutor, Arabic mathematics: forgotten brilliance? 1999
  3. Matvievskaya, Galina (1987), The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics, Annalen van de New York Academy of Sciences, volume = 500, blz. 253-277 [254].
  4. Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", blz. 148 , in Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Helaine Selin, Ubiratan D' Ambrosio, 2000, Springer, ISBN 1-4020-0260-2