Reële deel

R-symbool in Fraktur

In de wiskunde is het reële deel van een complex getal z het eerste element van een geordend paar van reële getallen,

Wanneer een complex getal worden weergegeven door

$z = (x, y) \!$, of equivalent,

$z = x+iy \!$,

dat bestaat het reële deel van $z$ uit $x$.

Het reële deel wordt aangeduid door $Re (z) \!$ of ook $\Re${z}, waar $\Re$ een hoofdletter "R" in het Frakturlettertype voorstelt.

Eigenschappen

Een illustratie van het complexe vlak. Het reële deel van het complexe getal $z = x+iy$ is $x$.

De complexe functie die $z$ op het reële deel van $z$ afbeeldt, is niet holomorf.

In termen van de complexe geconjugeerde $\bar{z}$, is het reële deel van z gelijk aan $\frac{z+\bar{z}}{2}$.

Voor een complex getal in polaire vorm,

$z = (r, \theta ) \!$,

zijn de Cartesische coördinaten,

$z = (r \cos \theta , r \sin \theta) \!$

of equivalent

$z = (r \cos \theta + i \sin \theta) \!$.

Het volgt uit de formule van Euler dat

$z = re^{i\theta} \!$,

en dus is het reële deel van

$re^{i\theta} \!$

gelijk aan

$r\cos\theta \!$.

Natuurkundig voorbeeld

Berekeningen met echte periodieke functies, zoals wisselstromen en elektromagnetische velden worden vereenvoudigd door ze als reële delen van complexe functies op te schrijven (zie het artikel over een Fasor). Op dezelfde manier kan ook de goniometrie simpeler worden gemaakt door de sinusoïde in termen van het reële deel van een complexe expressie weer te geven en de manipulaties op deze complexe expressie uit te voeren. Bijvoorbeeld:

$\begin{align} \cos(n\theta)+\cos[(n-2)\theta] & = \operatorname{Re}\left\{e^{in\theta} + e^{i(n - 2)\theta}\right\} \\ & = \operatorname{Re}\left\{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})\cdot e^{i(n - 1)\theta}\right\} \\ & = \operatorname{Re}\left\{2\cos(\theta) \cdot e^{i(n - 1)\theta}\right\} \\ & = 2\cos(\theta) \cdot \operatorname{Re}\left\{e^{i(n - 1)\theta}\right\} \\ & = 2 \cos(\theta)\cdot \cos[(n - 1)\theta]. \end{align}$

Zie ook

• Imaginaire deel
• Imaginair getal