Regel van Cramer

De regel van Cramer (naar Gabriel Cramer, 1704 - 1752) in de lineaire algebra is een formule voor de oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen. Met de regel kunnen de oplossingen van een oplosbaar stelsel direct berekend worden, zonder dat de bijbehorende matrix eerst geïnverteerd wordt.

Als het oplosbare lineaire stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden gegeven wordt door:

$Ax=b\!$,

waarin dus de n×n-matrix A inverteerbaar is, dan is er precies één oplossing $x = (x_1, x_2, \ldots , x_n)$, die gegeven wordt door:

$x=A^{-1}b\!$.

De oplossing kan berekend worden zonder expliciet de inverse van A te bepalen met de regel van Cramer:

$x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$,

waarin $A_i$ de matrix is die ontstaat door de i-de kolom van A te vervangen door de vector b, en det staat voor determinant.

Concreet gebruik

De regel van Cramer is enkel bruikbaar voor vierkante stelsels, dus stelsels met precies evenveel vergelijkingen als onbekenden. Daarenboven kan hij dan enkel gebruikt worden in het geval de determinant van het stelsel niet nul is. Dit geval stemt overeen met een unieke oplossing. Zelfs onder die voorwaarden is de regel van Cramer in de praktijk enkel geschikt voor zeer kleine vierkante stelsel van hoogstens drie vergelijkingen in drie onbekenden. Als het stelsel groter is neemt het aantal benodigde bewerkingen zeer snel toe. Voor een 4x4 stelsel moeten er immers niet minder dan vijf 4x4 determinanten berekend worden. In het algemeen is het aantal bewerkingen nodig om een nxn stelsel op te lossen met de regel van Cramer evenredig met (n+1)!. Andere methoden, zoals de Gauss-eliminatie of Gauss-Jordaneliminatie zijn dan veel sneller en hoeven ook niet vierkant te zijn. Ook moet de oplossing in dat geval niet uniek te zijn. Bij deze methoden is het aantal bewerkingen evenredig met $n^3$. Om zeer grote stelsels op te lossen, met tientallen of honderden vergelijkingen en onbekenden, worden aagepaste methoden gebruikt uit de numerieke analyse.

Voorbeelden

We berekenen de oplossing van de vergelijkingen:

$\, 3x_1+2x_2=7$

$\, 2x_1+3x_2=8$.

In matrixvorm:

$Ax=b\!$,

met

$A=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

en

$b=\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}$.

Deze matrix is inverteerbaar omdat de determinant verschillend is van 0:

$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 3\cdot 3 - 2\cdot 2 = 5$

Dan is:

$x_1=\frac{\begin{vmatrix}7 & 2 \\8 & 3 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix}3 & 2 \\2 & 3 \end{vmatrix} }=\frac{7\times 3 - 2 \times 8}{3\times 3 - 2 \times 2} = \frac{5}{5} = 1$

en

$x_2=\frac{\begin{vmatrix}3 & 7 \\2 & 8 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix}3 & 2 \\2 & 3 \end{vmatrix} }=\frac{3 \times 8 - 2 \times 7}{3\times 3 - 2 \times 2} = \frac{10}{5} = 2$.

Door invullen is eenvoudig de juistheid van de oplossing te controleren.

Interessanter wordt het met meer vergelijkingen:

$\, 3x_1+2x_2+2x_3=7$

$\, 2x_1+2x_2+3x_3=7$

$\, 6x_1+3x_2-2x_3=7$

In matrixvorm:

$Ax=b\!$,

met

$A=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{bmatrix}$

en

$b=\begin{bmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \end{bmatrix}$

$\det(A)=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} =-12+36+12-24+8-27=-7$,

zodat:

$x_1= -\frac 17 \begin{vmatrix} 7 & 2 & 2 \\ 7 & 2 & 3 \\ 7 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -\frac 17 (-28+42+42-28+28-63)=1$

$x_2= -\frac 17 \begin{vmatrix} 3 & 7 & 2 \\ 2 & 7 & 3 \\ 6 & 7 & -2 \end{vmatrix} = -\frac 17 (-42+126+28-84+28-63)=1$

en

$x_3= -\frac 17 \begin{vmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 2 & 2 & 7 \\ 6 & 3 & 7 \end{vmatrix} = -\frac 17 (42+84+42-42-28-63)=1$