Regelmatige maat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een regelmatige maat op een topologische ruimte een maat, waarvoor elke meetbare verzameling "bij benadering open" en "bij benadering gesloten" is.

Definitie[bewerken]

Laat (X, T) een topologische ruimte en laat Σ een σ-algebra op X zijn, die de topologie T bevat (zodat alle open en gesloten verzamelingen meetbare verzamelingen zijn, en zodat Σ ten minste zo "fine" is als de Borel-σ-algebra op X). Laat μ een maat op (X, Σ) zijn. Van een meetbare deelverzameling A van X wordt gezegd dat deze μ-regelmatig is als

\mu (A) = \sup \{ \mu (F) | F \subseteq A, F \mbox{ gesloten} \}

en

\mu (A) = \inf \{ \mu (G) | G \supseteq A, G \mbox{ open} \}.

Op gelijkwaardige wijze geldt dat A een μ-regelmatige verzameling is dan en slechts dan als voor elke δ > 0, er een gesloten verzameling F en een open verzameling G bestaat zodanig dat

F \subseteq A \subseteq G

en

\mu (G \setminus F) < \delta.

Als elke meetbare verzameling regelmatig is, dan zegt men dat de maat μ een regelmatige maat is.

Sommige auteurs vereisen dat de verzameling F niet alleen gesloten, maar ook compact is.[1]

Voorbeelden[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) Dudley, R. M., Real Analysis and Probability, Chapman & Hall, 1989, Sect. 7.1

Referenties[bewerken]

  • (en) Billingsley, Patrick, Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999 ISBN 0-471-19745-9.
  • (en) Parthasarathy, K. R., Probability measures on metric spaces, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, p. xii+276 ISBN 0-8218-3889-X.
  • (en) Dudley, R. M., Real Analysis and Probability, Chapman & Hall, 1989