Regelmatige polytoop

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een dodecaëder, één van de vijf Platonische lichamen.

In de wiskunde is een regelmatige polytoop een polytoop, waarvan de symmetrie transitief is over haar vlaggen, zodat een polytoop de hoogste graad van symmetrie heeft. Alle elementen ervan of j-zijden (voor alle 0 ≤ jn, waarbij n de dimensie van de polytoop is) – cellen, zijden, enzovoort – zijn ook transitief op de symmetrieën van de polytoop, en zijn regelmatige polytopen van dimensie ≤n.

Regelmatige polytopen zijn het gegeneraliseerde analogon van regelmatige veelhoeken (bijvoorbeeld het vierkant of de regelmatige vijfhoek) en regelmatige veelvlakken (bijvoorbeeld de kubus) in een willekeurig aantal dimensies. De sterke symmetrie van de regelmatige polytopen geeft hun een esthetische kwaliteit, die zowel wiskundigen als niet-wiskundigen aanspreekt.

Klassiek kan een regelmatige polytoop in n dimensies worden gedefinieerd als hebbende regelmatige facetten ((n-1)-zijden) en regelmatige vertexfiguren. Deze twee voorwaarden zijn voldoende om ervoor te zorgen dat alle zijden en hoekpunten gelijk zijn. Merk echter op dat deze definitie niet werkt voor abstracte polytopen.

Een regelmatige polytoop kan worden weergegeven door een Schläfli-symbool van de vorm (a,b,c ,....,y,z), met regelmatige facetten als (a,b,c,..., y), en regelmatige vertexfiguren als (b,c,..., y,z).

Schläfli-symbolen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Schläfli-symbool voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Ludwig Schläfli ontwikkelde in de 19e eeuw een beknopte symbolische weergave voor regelmatige polytopen. Een licht gewijzigde vorm daarvan is de norm geworden. De notatie kan het best worden uitgelegd door per keer een dimensie toe te voegen.

  • Een convexe regelmatige veelhoek met n zijden wordt aangeduid met {n}. Een gelijkzijdige driehoek is dus {3}, een vierkant {4}, en zo verder. Een regelmatige sterveelhoek, die zich m keer rond haar centrum windt, wordt aangegeven door de fractionele waarde {n/m}, waarbij n en m relatief priem zijn, een regelmatig pentagram wordt dus weergegeven door {5/2}.
  • Een regelmatig veelvlak met een {n}-aantal gezichten en waar p gezichten samenkomen in een vertex wordt aangeduid door {n,p}. De negen regelmatige veelvlakken zijn {3,3} {3,4} {4,3} {3,5} {5,3} {3,5/2) {5/2,3} {5,5/2} en {5/2,5}. {p} is de vertexfiguur van het veelvlak.
  • Een regelmatig polychoron of polycell met cellen {n,p} waar q cellen bij elkaar komen rond een rand wordt aangeduid door {n,p,q}. De vertexfiguur van het polychoron is een {p,q}.
  • Een vijf-dimensionale regelmatige polytoop is een {n,p,q,r}. En zo verder.