Regelmatige vijfhoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een vijfhoek of pentagoon, uit het Grieks, van πεντάγωνον, spreek uit pentágoonon, is een figuur met vijf hoeken en vijf zijden. Pente, πέντε, is Grieks voor vijf, gonos, γωνος, is Grieks voor hoek. Een regelmatige vijfhoek is een vijfhoek waarvan de vijf hoeken en de vijf zijden gelijk zijn. De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn 108°. Met twaalf regelmatige vijfhoeken kan in drie dimensies een dodecaëder worden gevormd.

Constructie[bewerken]

Constructie van een regelmatige vijfhoek met passer en liniaal

Een manier om een regelmatige vijfhoek te construeren met passer en liniaal werd al gegeven door Euclides. Het kan op verschillende manieren, bijvoorbeeld:

  • Teken een horizontale lijn.
  • Neem een punt boven de horizontale lijn. Teken nu met een passer een cirkel met twee snijpunten met de horizontale lijn. Zet de passerpunt in een van deze punten en trek een cirkel naar de onderzijde van de horizontale lijn, doe dit ook met het andere punt, trek nu een lijn door het verkregen snijpunt en het gekozen punt boven de horizontale lijn. Deze lijn is een loodlijn van de horizontale lijn. Het snijpunt van de horizontale lijn met de loodlijn is het punt O, te vergelijken met de oorsprong in een Cartesisch coördinatenstelsel.
  • Teken een cirkel met het middelpunt O waarop de hoekpunten AEGHF van de vijfhoek moeten komen. In de figuur is deze eerste cirkel groen. Het snijpunt van de loodlijn en de groene cirkel is punt A.
  • Een van de snijpunten van de groene lijn met de horizontale lijn noem je punt B.
  • Bepaal het midden C tussen O en B. Deel het lijnstuk OB in twee gelijke stukken; doe dit door met middelpunt B een cirkel door O te tekenen. Trek nu verticaal een lijn door de snijpunten van deze cirkel en de eerste groene cirkel. Deze lijn is de middelloodlijn van O en B, maar staat niet gegeven in de figuur. Het punt C is het snijpunt van de middelloodlijn met het lijnstuk OB. De lengte van OC is gelijk aan de lengte van BC.
  • Zet nu, de passerpunt op punt C, en de potloodpunt op A. Teken een deel van de cirkel, in de figuur rood onderbroken, tot het snijpunt met de horizontale lijn. Dit is punt D. Lijnstuk OD ligt aan de andere kant van de oorsprong O dan lijnstuk OC.
  • Zet de passerpunt in A, trek nu een cirkel door D. Deze cirkel, in de figuur blauw onderbroken, heeft nu twee snijpunten met de eerste groene cirkel. Dit zijn de punten E en F. Dit zijn de eerste twee gevonden hoekpunten van de regelmatige vijfhoek.
  • Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in E en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt G.
  • Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in F en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt H.
  • Zet nu ter controle de passerpunt zonder de passer te veranderen in punt G, de cirkel moet nu door punt H lopen.
  • Het door rechte lijnstukken verbinden van de vijf punten AEGHF resulteert in een regelmatige vijfhoek.

Formules[bewerken]

Bereken de straal, de omtrek, de oppervlakte, de hoogte van het middelpunt en de hoogte van de vijfhoek met alleen de lengte z van een zijde bekend, als volgt:

r = \frac{z}{\sqrt{2.5 - \sqrt{1.25}}} \simeq \frac{z}{1.17557}


O = 5z


A = 2.5z \cdot \sqrt{r^2 - 0.25z^2}


M = \sqrt{r^2 - 0.25z^2}


H = \sqrt{r^2 - 0.25z^2} + r


  • z = Lengte van één zijde van vijfhoek
  • r = Straal van de vijfhoek (de lengte van het middelpunt naar één van de vijf hoeken)
  • O = Omtrek van de vijfhoek
  • A = Oppervlakte van de vijfhoek
  • M = Hoogte van het middelpunt van de vijfhoek
  • H = Hoogte van de vijfhoek

Pentagram[bewerken]

Een pentagram is een gelijkmatige vijfpuntige ster. De hoekpunten van een pentagram liggen op een regelmatige vijfhoek, maar bij het verbinden van de hoekpunten moet steeds een hoekpunt worden overgeslagen. In de figuur van A naar G naar F naar E naar H terug naar A.

Zie ook[bewerken]