Regeloppervlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De parabolische hyperboloïde als regelvlak

Een regeloppervlak is een oppervlak, waarbij door elk punt van het oppervlak minstens één rechte - een beschrijvende of regel - gaat, die volledig tot het oppervlak behoort.

Ieder regeloppervlak kan dus beschreven worden door

\frac{}{} f(u,\lambda)=b(u)+\lambda \delta(u),

met \frac{}{} f(u,\lambda) de vergelijking van het oppervlak (twee dimensies); \frac{}{} b(u) de richtkromme, ook wel basiskromme genoemd; en \frac{}{} \delta(u) de richting van de rechte (afhankelijk van de plaats op de richtkromme).

Als een regeloppervlak aan elke beschrijvende een vast raakvlak heeft is ze afwikkelbaar. Dit betekent dat ze met behoud van hoeken en lengten kan worden afgebeeld op een vlak. Enkele afwikkelbare regeloppervlakken zijn het vlak, de cilinder en de kegel.

Een regeloppervlak waarbij, voor elk punt van de richtkromme, de beschrijvende dezelfde richting heeft als de raakvector aan het beschouwde punt van de richtkromme, noemt men een raaklijnenoppervlak. De richtkromme noemt men dan de keerkromme.

Het vlak, de hyperbolische paraboloïde, en de eenbladige hyperboloïde zijn dubbele regeloppervlakken: door elk punt van een dergelijk oppervlak gaan twee snijdende rechten die tot het oppervlak behoren.

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeelden van regeloppervlakken:

heeft een cirkel als richtkromme en een punt (dat niet op deze cirkel ligt) als top.
Als deze richtcirkel de vergelijking
x^2/a^2+y^2/b^2=1
heeft is de vergelijking van de kegel
x^2/a^2+y^2/b^2=z^2/c^2 of ook [a*v*cos(u),b*v*sin(u),c].
heeft een cirkel als richtkromme en een punt op oneindig als top,
maw de beschrijvenden hebben een vaste richting.
\frac{}{} \delta(u) is dus een constante vector, evenwijdig aan de as van de cilinder
met \frac{}{} f(u,\lambda)=[a(\cos(u)-\lambda \sin(u)),b(\sin(u)+\lambda \sin(u)),c \lambda] duidelijk opsplitsbaar
met \frac{}{} f(u,\lambda)=[a(u+\lambda),b \lambda, u^2+2u \lambda]

Externe links[bewerken]