Regula falsi

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Regula falsi, of de methode van regula falsi, is een numeriek algoritme om de nulpunten van een functie te bepalen. Het algoritme convergeert trager dan de Newton-Raphson-methode, maar is stabieler. De methode maakt gebruik van successieve iteraties van het gezochte punt en combineert eigenschappen van bisectie en de secant-methode.

Methode[bewerken]

Regula falsi begint met twee punten in de buurt van het nulpunt waarvan de functiewaarden tegengestelde tekens hebben, die dus aan weerszijden van de x-as liggen. Het nulpunt bevindt zich dus tussen deze twee punten. Vervolgens wordt het snijpunt met de x-as van de lijn die de punten op de grafiek van de functie bij de twee vorige punten met elkaar verbindt, bepaald. Uit het teken van de functiewaarde in dit snijpunt wordt bepaald in welk interval gevormd door dit punt en een van de vorige, het nulpunt ligt. Zo wordt het interval waarin zich het nulpunt bevindt, successievelijk verkleind.

Definitie[bewerken]

Regula falsi berekent opeenvolgende benaderingen in de vorm van een interval [an, bn] waarin een nulpunt van de functie f ligt door de recursie:

c_n = a_n - \frac{a_n - b_n}{f(a_n) - f(b_n)}f(a_n),

en (de ondergrens wordt opgeschoven)

a_{n+1}=c_n,\ b_{n+1}=b_n\, als f(a_n)f(c_n)>0\,

of (de bovengrens wordt teruggeschoven)

a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=c_n\, als f(b_n)f(c_n)>0\,

Daarin zijn a0 en b0 twee te kiezen startwaarden, waarvoor geldt:

f(a_0)f(b_0)<0\,..

Meetkundige interpretatie[bewerken]

Animatie van regula falsi

Gegeven een functie f(x) en twee waarden voor x, a en b (a < b), zodat f(a) · f(b) < 0 (anders gezegd: de ene ligt boven de x-as, de andere eronder). Als we met een continue functie werken, zal de functie f in het interval ]a,b[ nul worden. We benaderen dit nulpunt, α, door de punten [a,f(a)] en [b,f(b)] met een rechte lijn te verbinden, en van die lijn het nulpunt te bepalen, volgens:

c=b-f(b) \frac{b-a}{f(b)-f(a)}

c is nu onze berekende benadering voor het nulpunt. We gebruiken deze om itererend naar een oplossing te zoeken. Daarvoor hebben we het teken nodig van f(c), en het punt a óf b, zodat f(a of b) · f(c) opnieuw kleiner dan 0 is (beginvoorwaarde).

Externe links[bewerken]