Rekenkundige rij

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een rekenkundige rij is in de wiskunde een rij waarin elke volgende term ontstaat door bij zijn voorganger een constante, verschil genaamd, op te tellen. Zijn de eerste term t1 en het verschil v bekend, dan ligt de gehele rij vast, immers de tweede term is t2 = t1 + v, de derde t3 = t2 + v = t1 + 2v, enz. Zo wordt de n-de term gegeven door:

t_n=t_1+(n-1)v\,

De partiële som Sn van de eerste n termen van een rekenkundige rij wordt gegeven door

S_n=\tfrac{1}{2}n(t_1+t_n)= nt_1+\tfrac12(n-1)nv.

Voorbeeld[bewerken]

Gegeven is de rekenkundige rij: 2, 4, 6, 8, 10, .... Gevraagd: de 15e term en de som van de eerste 15 termen.

Oplossing[bewerken]

t_1= 2, \  v=2,\ n=15\,,

dus

t_{15} = 2+(15-1)2 = 2+28=30\,
S_{15} = \tfrac 12 \cdot 15 \cdot (2 + 30) = 240

Afleiding van de somformule[bewerken]

De som S_n van de eerste n termen is:

S_n = t_1 + t_2 +t_3+ \ldots + t_n.

Andersom opgeschreven:

S_n = t_n + t_{n-1} + t_{n-2} + \ldots + t_1.

Opgeteld levert dit:

2S_n=(t_1+t_n)+(t_2+t_{n-1})+ (t_3+t_{n-2})+ \ldots + (t_n +t_1).

Nu is de som van elk tweetal tussen haakjes staande termen gelijk, want:

t_1+t_n= t_1+v+t_n-v=t_2+t_{n-1}=t_2+v+t_{n-1}-v=t_3+t_{n-2}=\ldots

Zodat:

2S_n = (t_1+t_n)+(t_1+t_n)+(t_1+t_n)+\ldots+(t_1+t_n) = n(t_1+t_n)\,

Dit resulteert in:

S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n).

Omdat:

t_n=t_1+(n-1)v\,

volgt door invulling:

S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n)=\tfrac 12 n(t_1+t_1+(n-1)v)=nt_1+\tfrac12(n-1)nv.

Alhoewel deze afleiding al eerder gekend was, wordt hij vaak aan de toen 9-jarige Gauss toegeschreven die deze formule uitwerkte toen zijn onderwijzer de opdracht gaf om de som te berekenen van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 60.

Zie ook[bewerken]