Rekenkundige rij

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken

Een rekenkundige rij is in de wiskunde een rij waarin elke volgende term ontstaat door bij zijn voorganger een constante, verschil genaamd, op te tellen. Zijn de eerste term t1 en het verschil v bekend, dan ligt de gehele rij vast, immers de tweede term is t2 = t1 + v, de derde t3 = t2 + v = t1 + 2v, enz. Zo wordt de n-de term gegeven door:

t_n=t_1+(n-1)v\,

De partiële som Sn van de eerste n termen van een rekenkundige rij wordt gegeven door

S_n=\tfrac{1}{2}n(t_1+t_n)= nt_1+\tfrac12(n-1)nv.

Inhoud

[bewerken] Voorbeeld

Gegeven is de rekenkundige rij: 2, 4, 6, 8, 10, .... Gevraagd: de 15e term en de som van de eerste 15 termen.

[bewerken] Oplossing

t_1= 2, \  v=2,\ n=15\,,

dus

t_{15} = 2+(15-1)2 = 2+28=30\,
S_{15} = \tfrac 12 \cdot 15 \cdot (2 + 30) = 240

[bewerken] Afleiding van de somformule

De som Sn van de eerste n termen is:

S_n = t_1 + t_2 +t_3+ \ldots + t_n.

Andersom opgeschreven:

S_n = t_n + t_{n-1} + t_{n-2} + \ldots + t_1.

Opgeteld levert dit:

2S_n=(t_1+t_n)+(t_2+t_{n-1})+ (t_3+t_{n-2})+ \ldots + (t_n +t_1).

Nu is de som van elk tweetal tussen haakjes staande termen gelijk, want:

t_1+t_n= t_1+v+t_n-v=t_2+t_{n-1}=t_2+v+t_{n-1}-v=t_3+t_{n-2}=\ldots

Zodat:

2S_n = (t_1+t_n)+(t_1+t_n)+(t_1+t_n)+\ldots+(t_1+t_n) = n(t_1+t_n)\,

Dit resulteert in:

S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n).

Omdat:

t_n=t_1+(n-1)v\,

volgt door invulling:

S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n)=\tfrac 12 n(t_1+t_1+(n-1)v)=nt_1+\tfrac12(n-1)nv.

[bewerken] Zie ook

Persoonlijke instellingen