Rekenkundige rij

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken

Een rekenkundige rij is in de wiskunde een rij waarin elke volgende term ontstaat door bij zijn voorganger een constante, verschil genaamd, op te tellen. Zijn de eerste term t₁ en het verschil v bekend, dan ligt de gehele rij vast, immers de tweede term is t₂ = t₁ + v, de derde t₃ = t₂ + v = t₁ + 2v, enz. Zo wordt de n-de term gegeven door:

$t_n=t_1+(n-1)v\,$

De partiële som S_n van de eerste n termen van een rekenkundige rij wordt gegeven door

$S_n=\tfrac{1}{2}n(t_1+t_n)= nt_1+\tfrac12(n-1)nv$ .

Inhoud

1 Voorbeeld
- 1.1 Oplossing
2 Afleiding van de somformule
3 Zie ook

[bewerken] Voorbeeld

Gegeven is de rekenkundige rij: 2, 4, 6, 8, 10, .... Gevraagd: de 15^e term en de som van de eerste 15 termen.

[bewerken] Oplossing

$t_1= 2, \ v=2,\ n=15\,$ ,

dus

$t_{15} = 2+(15-1)2 = 2+28=30\,$

$S_{15} = \tfrac 12 \cdot 15 \cdot (2 + 30) = 240$

[bewerken] Afleiding van de somformule

De som $S n$ van de eerste n termen is:

$S_n = t_1 + t_2 +t_3+ \ldots + t_n$ .

Andersom opgeschreven:

$S_n = t_n + t_{n-1} + t_{n-2} + \ldots + t_1$ .

Opgeteld levert dit:

$2S_n=(t_1+t_n)+(t_2+t_{n-1})+ (t_3+t_{n-2})+ \ldots + (t_n +t_1)$ .

Nu is de som van elk tweetal tussen haakjes staande termen gelijk, want:

$t_1+t_n= t_1+v+t_n-v=t_2+t_{n-1}=t_2+v+t_{n-1}-v=t_3+t_{n-2}=\ldots$

Zodat:

$2S_n = (t_1+t_n)+(t_1+t_n)+(t_1+t_n)+\ldots+(t_1+t_n) = n(t_1+t_n)\,$

Dit resulteert in:

$S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n).$

Omdat:

$t_n=t_1+(n-1)v\,$

volgt door invulling:

$S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n)=\tfrac 12 n(t_1+t_1+(n-1)v)=nt_1+\tfrac12(n-1)nv.$

[bewerken] Zie ook

Ontvangen van "http://nl.wikipedia.org/wiki/Rekenkundige_rij"

Categorieën: Analyse | Getaltheorie

Weergaven

Persoonlijke instellingen

Zoeken

Hulpmiddelen