Rekenkundige rij

Een rekenkundige rij is in de wiskunde een rij waarin elke volgende term ontstaat door bij zijn voorganger een constante, verschil genaamd, op te tellen. Zijn de eerste term t₁ en het verschil v bekend, dan ligt de gehele rij vast, immers de tweede term is t₂ = t₁ + v, de derde t₃ = t₂ + v = t₁ + 2v, enz. Zo wordt de n-de term gegeven door:

$t_n=t_1+(n-1)v\,$

De partiële som S_n van de eerste n termen van een rekenkundige rij wordt gegeven door

$S_n=\tfrac{1}{2}n(t_1+t_n)= nt_1+\tfrac12(n-1)nv$.

Voorbeeld

Gegeven is de rekenkundige rij: 2, 4, 6, 8, 10, .... Gevraagd: de 15e term en de som van de eerste 15 termen.

Oplossing

$t_1= 2, \ v=2,\ n=15\,$,

dus

$t_{15} = 2+(15-1)2 = 2+28=30\,$

$S_{15} = \tfrac 12 \cdot 15 \cdot (2 + 30) = 240$

Afleiding van de somformule

De som $S_n$ van de eerste n termen is:

$S_n = t_1 + t_2 +t_3+ \ldots + t_n$.

Andersom opgeschreven:

$S_n = t_n + t_{n-1} + t_{n-2} + \ldots + t_1$.

Opgeteld levert dit:

$2S_n=(t_1+t_n)+(t_2+t_{n-1})+ (t_3+t_{n-2})+ \ldots + (t_n +t_1)$.

Nu is de som van elk tweetal tussen haakjes staande termen gelijk, want:

$t_1+t_n= t_1+v+t_n-v=t_2+t_{n-1}=t_2+v+t_{n-1}-v=t_3+t_{n-2}=\ldots$

Zodat:

$2S_n = (t_1+t_n)+(t_1+t_n)+(t_1+t_n)+\ldots+(t_1+t_n) = n(t_1+t_n)\,$

Dit resulteert in:

$S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n).$

Omdat:

$t_n=t_1+(n-1)v\,$

volgt door invulling:

$S_n = \tfrac 12 n(t_1+t_n)=\tfrac 12 n(t_1+t_1+(n-1)v)=nt_1+\tfrac12(n-1)nv.$

Deze afleiding werd voor het eerst door de 9-jarige Gauss uitgewerkt, toen zijn onderwijzer de opdracht gaf om de som te berekenen van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 60.

Zie ook

• Meetkundige rij
• Reeks