Rekenliniaal

Een rekenliniaal is een analoog wiskundig instrument waarmee men berekeningen kan uitvoeren. Samen met de logaritmetafel en een handboek met de meest voorkomende wiskundige functies, zoals 'de' Abramowitz & Stegun, vormde de rekenliniaal tot circa 1980 (toen goedkope elektronische, digitale rekenmachines op de markt verschenen) het standaard rekengereedschap van technici, natuurkundigen en ingenieurs.

De nauwkeurigheid wordt bepaald door het kleinste van de schaal af te lezen verschil, de 'werking' van het materiaal van de liniaal (t.g.v. luchtvochtigheid, temperatuur, e.d.) en de nauwkeurigheid van de opdruk ervan.

De eenvoudigste rekenliniaal bestaat uit twee ten opzichte van elkaar glijdende schalen. In het vaste deel van de liniaal, het 'lichaam', kan een beweegbaar deel, de tong (ook schuif genoemd), schuiven. Op het lichaam en op de tong zijn daarbij dezelfde schaalverdelingen aangebracht. De schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen op een lineaire schaal kunnen worden afgebeeld: het lijnstuk tussen de getallen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het logaritmische karakter van de basale schaalverdelingen spreekt men ook wel over een logaritmische liniaal.

Rekenliniaal in de stand voor vermenigvuldigen met 2 op de onderste schalen; de boven elkaar liggende getallen verschillen een factor 2.

Geschiedenis

Napier, Briggs en Oughtred

De rekenliniaal werd rond 1620–1630 uitgevonden, kort na John Napiers publicatie over de logaritme en Henry Briggs beschrijving van de logaritmen met grondtal 10. Edmund Gunter uit Oxford ontwikkelde in 1620 een rekenlat met een enkele logaritmische schaal, die in combinatie met een passer kon worden gebruikt om te vermenigvuldigen en te delen. Deze Gunter-liniaal is meer dan 200 jaar gebruikt in de British Navy.

Rond het jaar 1624 combineerde de geestelijke William Oughtred uit Cambridge twee Gunter-schalen die ten opzichte van elkaar konden worden verschoven. Men beschouwt dit tweetal ten opzichte van elkaar te bewegen logaritmische schalen als de voorloper van de rekenliniaal. In 1632 produceerde Oughtred zijn Circles of Proportion, een ronde rekenliniaal met concentrische logaritmische schalen. In hetzelfde jaar combineerde hij twee Gunter-linialen en maakte hij een instrument waarin we nu de moderne rekenliniaal herkennen. Zoals zijn tijdgenoot in Cambridge, Isaac Newton, onderwees Oughtred zijn idee privé aan zijn studenten, maar publiceerde ze niet meteen. Oughtreds ideeën werden pas gepubliceerd door William Forster in 1632 en 1653.

Robert Bissaker construeerde in 1654 de schuif met schalen op beide zijden. In 1662 werd voor het eerst gesproken over "sliding rule". In Engeland was ook de benaming "Rulers of Proportion" in gebruik.

Instrumentmakers

Vanaf 1675 begonnen steeds meer Engelse instrumentmakers rekenlinialen te produceren. Veel van deze linialen waren niet bedoeld voor "gewoon" rekenwerk, maar voor speciale toepassingen. Voor die speciale toepassingen bevatten die linialen dan ook speciale schaalverdelingen. Bekend is de liniaal van Henry Coggeshall uit 1677 voor de houtindustrie, die meer dan 200 jaar in gebruik is geweest.

De komende 100 jaar werden veel verschillende linialen voor speciale toepassingen bedacht en door instrumentmakers geproduceerd. De Soho-liniaal van Mathew Boulton en James Watt bijvoorbeeld, ontworpen in 1775, was speciaal ontworpen om berekeningen mee te kunnen uitvoeren betreffende de fysica van de stoommachine.

Tot 1800 werden rekenlinalen vooral in Engeland gebruikt, aanzienlijk minder in Frankrijk en Duitsland. Van het gebruik van rekenlinialen voor het jaar 1800 in andere landen is zo goed als niets bekend.

Amédée Mannheim

De rekenliniaal voor algemeen gebruik werd pas populair na een uitvinding van de Franse kolonel Amédée Mannheim in 1850. Mannheim kan worden beschouwd als de grondlegger van de moderne rekenliniaal.

Rond 1860 vond George Fuller een cilindrische rekenschaal uit. In 1886 begon de Duitse firma Dennert und Pape in Altona bij Hamburg rekenlinialen te produceren met schalen op wit celluloid. Tot het jaar 1900 begonnen allerlei firma's in de Verenigde Staten, Japan, Duitsland, Engeland en Frankrijk met het produceren van rekenlinialen. De vraag naar rekenlinialen steeg enorm door de opkomst van de machinebouw, mijnbouw, waterstaatkundige werken, wapenindustrie en de elektrotechnische industrie. Aanvankelijk werden de schaalverdelingen met veel handvaardigheid geconstrueerd, maar na de uitvinding van een machine voor het mechanisch construeren van logaritmische schaalverdelingen in 1900 kreeg de productie van rekenlinialen steeds meer een industrieel karakter.

Naast de rekenlinialen voor algemeen gebruik, waarvan de drie basissystemen hierna worden besproken, werden nog steeds veel rekenlinialen voor speciale toepassingen geproduceerd. Bekende linialen waren de elektroliniaal voor elektrotechnische berekeningen en linialen voor rekenwerk met betrekking tot gewapend beton. Deze linialen bevatten naast de schalen voor algemeen rekenwerk speciale aan het vakgebied gerelateerde schalen. Door deze ontwikkelingen werd de rekenliniaal het herkenningssymbool van de ingenieur en de technicus.

Gedurende de eerste 70 jaar van de twintigste eeuw verscheen er een enorme diversiteit van rekenlinialen op de markt. Was het onderwijs in het gebruik van de rekenliniaal aanvankelijk beperkt tot het technisch onderwijs, al gauw werd hij ook een rekenmiddel in het algemeen vormende middelbaar onderwijs. Scholieren leerden werken met logaritmetafel en andere tafels voor het uitvoeren van nauwkeurige berekeningen, en leerden daarnaast rekenen op een rekenliniaal voor het uitvoeren van snelle berekeningen die minder significante cijfers vergden.

Voordelen en nadelen

Rekenen met een rekenliniaal vereist een behoorlijke (basis)kennis van algebra, in het bijzonder van machten, exponenten en logaritmen, alhoewel men ook zonder deze wiskundekennis zonder veel problemen basisberekeningen kan leren uitvoeren. Toch is bij wat ingewikkelder berekeningen wiskundig inzicht op zijn minst gewenst.

Als didactisch voordeel kan worden aangevoerd dat de student door het leren gebruiken van een rekenliniaal "spelenderwijs" een beter inzicht krijgt in algebra, met name het logaritmebegrip. Ook de noodzaak van het steeds inschatten van de ordegrootte van het resultaat van een berekening levert inzichtvoordelen, de plaats van de decimale komma kan namelijk door het rekenlinaal alleen niet bepaald worden.

De getallen op een rekenliniaal hebben een fysieke plek waardoor de student een goed gevoel ontwikkelt voor de ordening van getallen en hun onderlinge relaties.

Automatisch en snel kunnen rekenen op een rekenliniaal vereist een flinke oefening.

Als nadeel van de rekenliniaal wordt vaak de beperkte nauwkeurigheid genoemd als gevolg van het relatief kleine aantal significante cijfers waarmee gerekend kan worden, maar in de praktijk blijken de meeste berekeningen niet meer dan 3 significante cijfers nodig te hebben, wat voor het rekenen met de rekenliniaal geen enkel probleem is. Eén van de problemen die elektronische rekenmachines juist veroorzaken is dat de student geen goed gevoel ontwikkelt voor het correcte aantal significante cijfers van een berekening.

Rekenlinialen hebben als opvallende beperking dat optellingen en aftrekkingen (twee van de meest voorkomende rekenkundige bewerkingen) er niet mee kunnen worden uitgevoerd. Via de regel a ± b = (a/b ± 1)b kan dit nadeel enigszins worden ondervangen, maar deze regel blijft toch een ingewikkelde oplossing voor een eenvoudige tekortkoming, die echter inherent is aan een liniaal met logaritmische schaalverdelingen.

De elektronische rekenmachine heeft deze nadelen niet. Hij is gemakkelijk, snel en zonder veel kennis van rekenkunde en wiskunde te bedienen, het aantal cijfers waarmee gerekend kan worden is aanzienlijk groter en je kunt er optellingen en aftrekkingen mee uitvoeren.

Toen in de tweede helft van de jaren 70 goedkope elektronische rekenmachines op de markt verschenen, eindigde mede daardoor de 350 jaar lange periode van de rekenliniaal.

Systemen

Systeem Mannheim

De moderne rekenlinialen hebben als basis de schalenconfiguratie en een cursor die rond 1850 door de Franse kolonel Mannheim werden bedacht. Het idee van een loper of cursor was overigens niet helemaal nieuw. Al in 1775 beschreef een zekere John Robertson een `verbeterde Gunter`, waarbij een cursor wordt toegepast.

De eerste Mannheim-linialen beschikten uitsluitend over de schalen A // B - C // D. A is de kwadraatschaal op het bovenste vaste deel van de liniaal; B is de kwadraatschaal op de schuif; C is de gewone logaritmische schaal op de schuif en D is de overeenkomstige gewone logaritmische schaal op het onderste vaste deel van de liniaal. Later werd de Mannheim-liniaal op de voorkant uitgebreid tot de configuratie: A // B - CI - C // D - K; de achterkant van de schuif had de configuratie // S - L - T //. Hierbij staat de CI voor de inverse (of omgekeerde) schaal van C; K voor kubusschaal, dus schaal voor derdemachten; S voor de sinusschaal; L voor de lineaire schaal, waarbij ieder getal op L de logaritme (met grondtal 10) is van het overeenkomstige getal op C (en D); T staat voor de tangensschaal.

Systeem Rietz

In 1902 vond Max Rietz een schalenconfiguratie die tot in de jaren zeventig van de twintigste eeuw de meest populaire schalenconfiguratie bleef: op de voorkant K - A // B - CI - C // D - L; op de achterkant van schuif (ook tong genoemd) // S - ST - T //. ST is de sinus-tangensschaal voor kleine hoeken en tevens de schaal waarmee radialen naar graden kunnen worden omgerekend en omgekeerd.

Systeem Darmstadt

Technici en ingenieurs hadden echter behoefte aan een rekenliniaal waarmee met willekeurige machten en exponenten kan worden gerekend. Deze liniaal werd in 1935 bedacht door Dr. Alwin Walther uit Darmstadt. De Darmstadt-liniaal beschikt over een aantal log-log-schalen, die LL-schalen worden genoemd. Daarnaast was de zogenaamde Pythagorasschaal P een zeer handige noviteit. De Darmstadt-configuratie is op de voorkant K - A // B - CI - C // D - P; op de achterkant van de schuif staan de dubbellog-schalen: // LL1 - LL2 - LL3 //; de zijkanten van de oorspronkelijke Darmstadt-liniaal werden met de S-, de T- en de L-schaal uitgerust.

Overigens was het idee van dubbellog-schalen in de tijd van Walther niet nieuw: al in 1815 is het idee van log-log-schalen bedacht door de Engelsman Roget. Door de stand van de toenmalige wetenschap en techniek bestonden er echter nauwelijks toepassingen van rekentechnieken met andere dan de meest elementaire machten.

De getallen op de LL-schalen op de Darmstadt-liniaal zijn meestal een e-macht van de getallen x op C en D. Met deze LL-schalen kan men iedere macht met grondtal groter dan 1 berekenen. De exponent van het natuurlijke grondtal e (2,718...) is daarbij steeds positief. Vandaar dat deze schalen ook wel positieve LL-schalen worden genoemd.

Hybride Rietz-Darmstadt-linialen

Met de oorspronkelijke Darmstadt-liniaal is het werken met grondtallen kleiner dan 1 en negatieve exponenten bewerkelijk. Daarom werden latere rekenlinialen uitgevoerd met negatieve LL-schalen: LL01, LL02 en LL03. Sommige rekenlinialen beschikken zelfs over een LL0-schaal, voor grondtallen groter dan 1 en over een LL00-schaal voor grondtallen kleiner dan 1.

Veel rekenlinialen beschikken over zogenaamde verschoven (Engels: folded) schalen. Die schalen worden met een F aangeduid, bijvoorbeeld CF en DF. De inversen van deze schalen worden aangeduid met CIF en DIF. Het voordeel van deze verschoven schalen is dat er minder heen en weer hoeft te worden geschoven met de tong van de liniaal.

De latere professionele rekenlinialen zijn feitelijk een hybride uitvoering van de systemen Rietz en Darmstadt, waarbij opvalt dat de LL-schalen gewoonlijk op het vaste deel van de liniaal zijn aangebracht. Een fraai voorbeeld is de duplexliniaal Aristo 0968, die in 1949 werd ontworpen en tot ongeveer 1980 een zeer populaire liniaal was bij technici en ingenieurs.

Deze tweezijdige liniaal met tweezijdige cursor heeft de volgende schalenconfiguratie:

voorkant: LL01 - LL02 - LL03 - A // B - L - K - C // D - LL1 - LL2 - LL3; achterkant: ST - T1 - T2 - DF // CF - CIF - CI - C // D - P - S

Gebruik

Aflezen liniaal

Vermenigvuldigen

Vooral de C-schaal en de D-schaal op een rekenliniaal gebruikt men voor vermenigvuldigingen en delingen. Deze schalen duidt men met een x aan. De schalen C en D zijn gekoppeld aan de lineaire schaal L. Op de schaal L is het interval van 0 tot 1 lineair ingedeeld. De afstand van bijvoorbeeld 0,1 tot 0,3 is even groot als de afstand tussen 0,6 en 0,8. De getallen l op schaal L staan in verbinding met de getallen op de C- en op de D-schaal volgens de betrekking l → 10^l = x. De getallen op de L-schaal zijn dus de logaritme met grondtal 10 van de getallen op C en op D omdat l(x) = log(x). Vandaar dat men L vaak log-schaal noemt.

De getallen op C en D zijn logaritmisch ingedeeld: de afstand van 1 tot 2 is log(2) = 0,301; de afstand van 2 tot 3 is log(3) – log(2) = 0,176; de afstand tussen 3 en 4 is log(4) – log(3) = 0,125; enzovoorts. De afstand tussen twee opeenvolgende gehele getallen op C en D wordt dus steeds kleiner. Opmerkelijk is dat deze afstanden precies gelijk zijn aan de relatieve frequenties waarmee de eerste cijfers van waarden van natuurlijke grootheden voorkomen. Volgens de wet van Benford begint 30,1% van die getallen met het cijfer 1; 17,6% van de getallen begint met een 2; enzovoorts.

Vermenigvuldigingen zijn gebaseerd op het optellen van twee logaritmen. De som van logaritmen is immers de logaritme van het product: log(a) + log(b) = log(a∙b). Bij rekenlinialen is het ook handig te denken in termen van exponenten. De logaritme van een getal is per definitie de exponent van 10 die bij dat getal hoort: a = 10^log(a) en dus log(10^a) = a.

Als we a op D willen vermenigvuldigen met b op C, schuiven we de 1 van C boven de a op D. Onder de b van C lezen we vervolgens het product a∙b op D af. Bij het vermenigvuldigen van een getal a op D met een getal b op C worden de overeenkomstige afstanden l(a) = log(a) en l(b) = log(b) op L in eerste instantie bij elkaar opgeteld. Door de exponentiële relatie tussen L enerzijds en C en D anderzijds geldt immers a∙b = 10^l(a)∙10^l(b) = 10^{l(a) + l(b)}.

Nu kan l(a) + l(b) > 1 zijn. In dat geval kunnen we het product niet aflezen omdat de tong te ver naar rechts buiten de liniaal is geschoven. De tong van de liniaal schuiven we daarom zover naar links dat de 10 van C staat boven a op D. Onder b op C lezen we nu het product op D af. De overeenkomstige afstanden op de L-schaal worden nu van elkaar afgetrokken volgens l(a) - (1 - l(b)) = l(a) + l(b) - 1. Hierin is 1 – l(b) de inverse afstand van b gemeten op L. Merk op, dat ondanks de aftrekking, er toch een optelling l(a) + l(b) wordt uitgevoerd.

Nu wordt het product van a en b bepaald door a∙b = 10^l(a)∙10^{l(b) - 1} =10^{l(a)+ l(b) - 1}. Eigenlijk vinden we niet het product van a en b, maar een getal dat 10 x zo klein is. Zo vinden we op de liniaal als product van 3 en 4 het getal 1,2 en niet 12! Dit geldt voor veel berekeningen op een rekenliniaal: de gebruiker moet correct de ordegrootte van het resultaat schatten en dus de plaats van de decimale komma.

Delen

Delen is gebaseerd op het aftrekken van logaritmen volgens de formule log(a) - log(b) = log(a/b). Als we a op D willen delen door b op C, schuiven we b van C boven a op D. Onder de 1 van C lezen we vervolgens het quotiënt a/b op D af.

Bij het delen van een getal a op D door een getal b op C worden de overeenkomstige afstanden l(a) en l(b) op L in eerste instantie van elkaar afgetrokken. Door de exponentiële relatie tussen L enerzijds en C en D anderzijds geldt immers: a/b = 10^l(a)/10^l(b) = 10^{l(a) – l(b)}.

Is echter l(a) – l(b) < 0, dan lukt het aflezen van het quotiënt onder de 1 van C niet omdat de tong te ver naar links buiten de liniaal is geschoven. De oplossing is in dit geval een optelling van afstanden op L uit te voeren in plaats van een aftrekking, namelijk l(a) + (1 - l(b)) = l(a) – l(b) + 1. Onder het getal 10 op C vinden we nu 10^{l(a) – l(b) + 1}, dus een getal dat 10 x zo groot is als het quotiënt van a en b. Zo vinden we als quotiënt van 3 en 4 het getal 7,5 op D en niet 0,75.

Door de liniaal cirkelvormig te maken, zodat het getal 10 rechts op de schaal weer samenvalt met het getal 1 aan de linkerkant krijgt men een rekenschijf. Die heeft het voordeel dat men niet - zoals met een rechte rekenliniaal - bij vermenigvuldigen en delen met de tong buiten de liniaal kan geraken.

Duidelijk in bovenstaande berekeningen is te zien dat voor het uitvoeren van berekeningen met een rekenliniaal altijd de decimale komma door de rekenaar zelf op de juiste plaats in het antwoord moet worden gezet; anders dan bij het gebruik van zakrekenmachines ontwikkelde de gebruiker dus vanzelf meer gevoel voor de grootteorde van getallen.

CF en DF

Parallel aan het vermenigvuldigen en delen op de C- en D-schalen vinden dezelfde bewerkingen plaats op de CF- en DF-schalen. Alleen zijn de getallen op deze schalen verschoven. Als een vermenigvuldiging of deling op de combinatie van CF en DF niet uitkomt en de tong verschoven zou moeten worden, kan men zonder verschuiven van de tong ook het antwoord via C en D vinden. Ook het omgekeerde geldt. Dus heen en weer schakelen tussen de paren C/D en CF/DF leidt tot vermindering van het heen en weer schuiven van de tong van de rekenliniaal en daarmee van een bron van onnauwkeurigheid. Zo is bovendien vaak een tijdrovende instelling van de liniaal te voorkomen.

D en CI

Vermenigvuldigen en delen kan ook plaatsvinden op de combinatie van D en CI. De getallen van CI worden zijn in het rood aangeduid omdat ze in de verkeerde richting staan. Bij vermenigvuldiging van a op D met b op CI zetten we nu b van CI boven a op D. In eerste instantie lezen we nu het product af op D onder de 1 van C. Ook hierbij worden de logaritmen van de overeenkomstige afstanden bij elkaar opgeteld volgens de regel a∙b = 10^l(a)∙10^l(b) =10^{l(a) + l(b)}.

Op soortgelijke wijze kan men ook een deling uitvoeren op de schalencombinatie CI en D.

A en B

Ook de combinatie van de schalen A en B kan worden gebruikt voor vermenigvuldigingen en delingen. Principieel is er geen verschil tussen vermenigvuldigen of delen op dit schalenpaar en de eerder genoemde paren. Komt het heen en weer schuiven van de tong bij het schalenpaar C/D overen met vermenigvuldigen met of delen door 10, heen en weer schuiven van de tong betekent bij het paar A/B vermenigvuldigen met of het delen door 100.

Kwadrateren en worteltrekken

De getallen op schaal A (en op B) zijn het kwadraat van de getallen op schaal C (en dus ook van D). Het verband met de getallen op de L-schaal is l → 10^2l = x².

Hiervoor kunnen we ook schrijven l = 1/2∙log(x²).

De A- en de B-schaal bestaan ieder uit twee decaden: de getallen lopen van 1 tot 100. Men heeft daardoor weliswaar een groter bereik van getallen tot zijn beschikking, maar dat gaat ten koste van de nauwkeurigheid bij het rekenen met getallen in de buurt van 10 en 100.

Het vermenigvuldigen en delen met de A/B-schalencombinatie gaat op dezelfde wijze in zijn werk als het rekenen met de C/D-combinatie. Daarbij moet wel bedacht worden dat een ver-schuiving van de tong over zijn hele breedte nu vermenigvuldigen met of delen door 100 betekent.

Een voordeel van het werken op de A/B-schalencombinatie is bijvoorbeeld dat nu ook de wortel uit het product of het quotiënt kan worden getrokken. Op D leest men immers de wortel af van het er boven liggende getal op A. (Op C leest men de wortel af van het er boven liggende getal op B.)

De schalen A en B bestaan uit twee decaden. Voor wortels uit getallen met een oneven aantal cijfers gebruiken we de linker decade; voor wortels uit getallen met een even aantal cijfers gebruiken we de rechter decade.

De kubusschaal K

Bijna alle rekenlinalen beschikken over een K-schaal, waarvan de waarden de derde macht zijn van de getallen op de D-schaal. De K-schaal bestaat uit drie decaden. Van iedere waarde op K vinden we de derdemachtswortel op D.

De lineaire schaal L

De lineaire schaal L is de zogenaamde mantissenschaal. Het verband tussen C en D enerzijds en L anderzijds is te begrijpen als we getallen in de meest gebruikelijke wetenschappelijke notatie noteren. In die zogenaamde zwevendekommanotatie kan ieder positief reëel getal geschreven worden als x = s·10^w, waarin 1 <= s < 10 (in de praktijk is slechts een beperkt aantal cijfers voor s beschikbaar, het aantal significante cijfers) en w een geheel getal is. Het getal s wordt in dit verband de significant of coëfficiënt van x genoemd en w de wijzer. Men noemt s ook wel de mantisse, maar in verband met de rekenliniaal (en de logaritmetafel) is het handiger dat woord expliciet te reserveren voor de mantisse van de logaritme.

De schalen C en D bevatten de significanten s van de getallen waarmee we rekenen. Voor de logaritme (met grondtal 10) van x geldt nu log(x) = log(s) + w = m + w. De logaritme van de significant s is de mantisse m met 0 <= m < 1. Dit getal m is een getal op de lineaire schaal L.

Uit het voorgaande volgt nog: x = 10^m·10^w = 10^{m + w}

Enige voorbeelden ter verduidelijking.

$5000=5\cdot {{10}^{3}}={{10}^{0,6990}}\cdot {{10}^{3}}$

De significant is 5 (te vinden op C of D), de mantisse is 0,6990 (te vinden op L) en de wijzer is 3.

$0,005=5\cdot {{10}^{-3}}={{10}^{0,6990}}\cdot {{10}^{-3}}$

De significant is 5 (te vinden op C of D), de mantisse is 0,6990 (te vinden op L) en de wijzer is -3.

Veel rekenlinialen beschikken niet over loglog-schalen, waardoor het berekenen van machten bewerkelijk is. In principe kunnen via de lineaire schaal L machten met een willekeurig (positief) grondtal en willekeurige (positieve) exponent wel degelijk worden berekend, zij het tamelijk moeizaam. Die berekening gaat volgens de formule

${{g}^{a}}={{10}^{a\cdot \log g}}$

Bijvoorbeeld:

${{3,7}^{4,5}}={{10}^{4,5\log 3,7}}={{10}^{4,5\cdot 0,568}}={{10}^{2,557}}={{10}^{0,557}}\cdot {{10}^{2}}=3,61\cdot {{10}^{2}}$

Hierbij stellen we 3,7 in op D en vinden de mantisse 0,568 op L. Deze 0,568 stellen we in op D in en vermenigvuldigen dat getal met 4,5 op C en vinden het product 2,557 op D. De wijzer is 2. De mantisse is 0,557, die brengen we naar L, waarna we op D 3,61 vinden. Juist het overbrengen van getallen van de ene schaal naar de andere is bewerkelijk en bovendien een bron van fouten, omdat we tussenantwoorden van de berekening moeten aflezen, iets wat met LL-schalen onnodig is.

Ook als de exponent groter is dan 10 gaan we op de beschreven wijze te werk. Bijvoorbeeld:

${{3,7}^{15}}={{10}^{15\log 3,7}}={{10}^{8,52}}={{10}^{0,52}}\cdot {{10}^{8}}=3,33\cdot {{10}^{8}}$

Als het grondtal groter is dan 10, is de wijzer groter dan 1 en moet er een optelling worden uitgevoerd, die niet op een rekenliniaal tot stand kan worden gebracht.

$\begin{align} & {{15}^{3,7}}={{10}^{3,7\log 15}}\to \\ & \log 1,5=0,176 \\ & \log 15=1,176 \\ & 3,7\log 15=4,35=4+0,35 \\ & {{15}^{3,7}}={{10}^{0,35}}\cdot {{10}^{4}}=2,25\cdot {{10}^{4}} \\ \end{align}$

Zelfs als een rekenliniaal niet beschikt over een L-schaal is het soms mogelijk om machten met een willekeurige exponent en willekeurig grondtal uit te rekenen. Dat geldt voor het geval dat op de liniaal een gewone schaalverdeling, bijvoorbeeld van 0 tot 25 cm, aanwezig is die parallel loopt aan D. Het verband tussen die getallen op de lineaire schaal van 0 tot 25 en de getallen x van 1 tot 10 op D wordt gegeven door een logaritme waarvan het grondtal is:

$g={{10}^{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{25}\;}}=1,096...$

Een berekening gaat dan als volgt:

${{3,7}^{1,56}}={{g}^{1,56\cdot \log 3,7}}={{g}^{22,16}}=7,70$

Oppervlakte van een cirkel

Het verband tussen de oppervlakte van een cirkel en zijn diameter wordt gegeven door: $A=\frac{1}{4}\pi {{d}^{2}}=\frac{{{d}^{2}}}{4/\pi }\approx \frac{{{d}^{2}}}{1,273}$ Men kan echter ook schrijven: $A=\frac{{{d}^{2}}}{\sqrt{{}^{4}\!\!\diagup\!\!{}_{\pi }\;}}\approx {{\left( \frac{d}{1,128} \right)}^{2}}$ Gewoonlijk bevat de loper, naast de grote loperstreep, een aantal kleinere strepen. Op de hoogte van de C- en D-schalen, rechts van de grote loperstreep vinden we vaak een kleinere streep op afstand 1,128 (van links naar rechts gezien) vanaf de grote streep. Als we de diameter op D onder die kleine streep zetten en we via de grote loperstreep naar A gaan, vinden we op A de doorsnede van de cirkel. Omdat we vanaf de kleinere streep van rechts naar links in de richting van de grotere gaan, vindt hier een deling door 1,128 plaats. De overgang van D naar A vertegenwoordigt het kwadrateren. De oppervlakte van de cirkel is dus via de tweede formule berekend.

Vaak staat op de loper links van de grote loperstreep een kleinere streep op de hoogte van de schalen A en B. De afstand tussen deze kleine streep en de grote loperstreep is gelijk aan 1,273, van links naar rechts gerekend. Als men op D de diameter van een cirkel instelt, leest men op A de doorsnede van de cirkel onder de kleine loperstreep. Omdat de berekening langs A van rechts naar links wordt uitgevoerd, vindt bij deze bewerking een deling door 1,273 plaats. Dan wordt dus de eerste formule toegepast.

Sinus en cosinus

De schaal S staat in verband met schaal D volgens de afbeelding x → arcsin(x). Hierbij moeten de getallen op D worden opgevat als getallen tussen 0,1 en 1. Op de meeste linialen worden de hoeken uitgedrukt in graden, waarbij de graden decimaal zijn verdeeld. Er zijn echter ook rekenlinialen waarbij de graden zestigtallig worden onderverdeeld in minuten en seconden.

Als α een hoek op S is, is de overeenkomstige waarde op L gelijk aan l = log sin(α). Dit is een negatief getal, waaruit volgt dat we nu het rechterpunt van L als nulpunt moeten zien en het linkerpunt als -1. Dat is natuurlijk ook overeenkomstig de hier gehanteerde indeling van D van 0,1 tot 1 en log(0,1) = -1.

Veel rekenlinialen bevatten naast de hoeken van 5,7° tot 90° ook de rij complementaire hoeken. De rij van complementaire hoeken loopt dan van rechts naar links van 0° tot 84,3°. De getallen van deze tweede rij wordt dan in het rood vermeld omdat ze in ömgekeerde richting staan. Deze schaal is de cosinusschaal omdat cos(α) = sin(90° - α).

Men laat de S-schaal vaak beginnen bij 5,5°, dus links van het eigenlijke begin van de schaal. De cosinusschaal eindigt dan bij 84,5°. Dit soort overloopstukjes aan het begin of einde van een schaal vergemakkelijken berekeningen aan de uiteinden van de schaal.

De rekenliniaal is vooral handig bij het uitvoeren van berekeningen waarbij de sinusregel een rol speelt: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$.

De sinussen van de hoeken α, β en γ stellen we in op D; de zijden a, b en c stellen we in op C. Eén paar instellen is voldoende. Vervolgens kunnen de andere verhoudingen zonder enige schuifbeweging worden afgelezen. Ook als we de diameter d = 2R van de omgeschreven cirkel op C ingestellen boven de rechter 1 van D, vinden we zonder moeite de drie andere verhoudingen.

Dit is buitengewoon voordelig bij rechthoekige driehoeken. Daarvoor geldt immers: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{1}=\frac{c}{\sin (90{}^\circ -\alpha )}$.

Hoek B is hierbij recht verondersteld en c is de hypothenusa. De lengte van de hypothenusa lezen we af boven de rechter 1 van D.

Op overeenkomstige wijze kunnen zeer eenvoudig polaire coördinaten (r,φ) in het vlak worden omgerekend naar orthogonale coördinaten (x,y). Immers: $\frac{y}{\sin \varphi }=\frac{r}{1}$ en $\frac{x}{\cos \varphi }=\frac{r}{1}$.

Tangens

De meeste rekenlinialen beschikken over één schaal T waarmee de tangens van een hoek kan worden berekend. Sommige linialen bevatten twee van zulke schalen die dan met T1 en T2 worden aangeduid. De schaal T (T1) staat in verband met schaal D volgens de afbeelding x → arctan(x). Voor de bijbehorende waarde op L van een hoek α op T (T1) geldt l = log tan(α). Hierbij moeten de getallen op D worden opgevat als getallen tussen 0,1 en 1. De overeenkomstige hoeken op T (T1) lopen dan van 5,7° tot 45°. Vaak wordt de T-schaal aan de linkerkant met een overloopstukje uitgevoerd. De kleinste hoek op deze schaal is dan 5,5°.

De schaal T2 moet als het verlengde van T1 worden opgevat. De schaal T2 staat eveneens in verband met schaal D volgens de afbeelding x → arctan(x). Hierbij moeten de getallen op D nu worden opgevat als getallen tussen 1 en 10. Voor de bijbehorende waarde op L van een hoek α op T2 geldt ook hier l = log tan(α). De hoeken op T2 beginnen met 45° en eindigen met arctan(10), dus met 84,3°. T2 kan echter aan de rechterkant een overloopstukje bevatten waardoor de grootste hoek 84,5° is.

ST en radialen

De sinus-tangensschaal ST bestaat uit één decade, een decade echter die (afgezien van overloopstukjes) met 0,573 begint en met 5,73 eindigt. De bijbehorende getallen op D lopen hierbij van 0,01 tot 0,1. De getallen op ST zijn dus 5,73 maal zo groot als de getallen op D. Schaal ST is log(5,73) verschoven ten opzichte van D. Net zoals bij de schalen CF en DF hebben we hier te maken met een ‘folded’ schaal.

Het getal 5,73 is niet willekeurig gekozen. 57,3 is 180 gedeeld door π, de factor waarmee we graden en radialen naar elkaar omrekenen. Het aantal graden van een hoek is 57,3 maal zo groot als het aantal radialen en omgekeerd is het aantal radialen 1/57,3 maal zo groot als het aantal graden. Als we een hoek in graden instellen op ST, lezen we op D de grootte van de hoek uitgedrukt in radialen af. Zo lezen we bijvoorbeeld af dat een hoek van 3° in radialen 0,0524 bedraagt. Omgekeerd dat een hoek van 0,04 radialen 2,3° is.

Bij dit soort berekeningen mogen hoeken ook groter zijn dan 5,7°. De omrekeningsfactor blijft altijd dezelfde. We moeten echter de decade op D in dat geval iets anders interpreteren. Als we de grootte van een hoek van 30° in radialen willen uitdrukken, interpreteren we D als de decade van 0,1 tot 1. We vinden dan dat 30° op ST overeenkomt met 0,524 radialen op D. Als we de grootte van een hoek van 300° in radialen willen uitdrukken, interpreteren we de decade van D als lopend van 1 tot 10. We vinden dan 5,24 radialen op D.

ST en hoeken

Als we ST opvatten als een schaalverdeling voor kleine hoeken (hoeken tussen 0,01 rad = 0,573° en 0,1 rad = 5,73°) dan moet ST links van S en links van T (T1) worden gedacht. Voor zulke kleine hoeken, uitgedrukt in radialen, geldt bij benadering sin(α) ≈ α ≈ tan(α). Als we een hoek instellen op ST, vinden we op D de exacte waarde van de hoek uitgedrukt in radialen; een benadering voor de sinus van de hoek die een fractie te klein is en een benadering voor de tangens van de hoek die een fractie te groot is. De afwijkingen zijn echter zo klein dat ze in berekeningen in de praktijk geen rol van betekenis spelen. Op de rekenliniaal identificeren we de sinus, de hoek en de tangens met elkaar.

Als we de sinus of de tangens van een hoek op ST willen bepalen lopen de getallen op schaal D van 0,01 tot 0,1!

Met de sinus van een kleine hoek bepalen we tevens de cosinus van een grote hoek. Daarom zien we langs de schaal ST in omgekeerde richting de hoeken 84,3° tot 89,4° (afgezien van eventuele overloopstukjes).

Met behulp van de schaal T2 is de grootste hoek die we kunnen bereiken arctan(10) = 84,3°. Het bepalen van de tangens groter dan 10 van een hoek is via ST en CI te berekenen. Via ST kunnen we namelijk de tangens van grote hoeken bepalen door als volgt te werk te gaan: tan(88°)= 1/tan(2°) = 28,6. De hoek van 88° is een hoek die door de complementen op ST wordt aangeduid. Het getal 28,6 lezen we af op CI. Hierbij moet worden bedacht dat het antwoord groter dan 10 is.

Pythagorasschaal P

De P-schaal wordt op rekenlinialen van het Darmstadttype aangeduid met $\sqrt{1-{{x}^{2}}}$, of $\sqrt{1-{{(0,1x)}^{2}}}$.

Hierbij bevindt zich x op D. In het eerste geval worden de getallen van D geïnterpreteerd als de decade van 0,1 tot 1; in het tweede geval als de decade van 1 tot 10. Zoals bij veel berekeningen op een rekenliniaal is het de verantwoordelijkheid van de gebruiker om de decimale komma juist te plaatsen. Daarom is dit onderscheid in interpretatie tussen de twee decaden niet van wezenlijk belang. De getallen op P nemen van rechts naar links toe in waarde. Daarom zijn ze in het rood afgedrukt. Het belang van de P-schaal zien we vooral in berekeningen die met rechthoekige driehoeken te maken hebben. Een bijzondere toepassing vinden we als we bedenken dat $\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\cos \alpha$ en $\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sin \alpha$.

Door het toepassen van deze formules kunnen we tegelijkertijd de sinus en cosinus van een hoek aflezen. Bij relatief grote hoeken liggen de arcsin-waarden op S en de bijbehorende relatief kleine arccos-waarden zeer dicht bij elkaar, waardoor het nauwkeurig aflezen van die waarden problematisch is. Zo is het bepalen van sin(80°) moeilijk. Zetten we de cursorstreep echter op de 80° van de cosinusschaal, dan lezen we op P sin(80°) = 0,985 af en op D cos(80°) = 0,174. Deze waarden liggen op de linkerhelft van de liniaal waar de schaalverdelingen van S en P veel minder compact zijn en daardoor nauwkeuriger afleesbaar.

De hoeken op de sinusschaal zijn zwart afgedrukt; de bijbehorende complementaire hoeken zijn rood afgedrukt. Als we een berekening met een zwarte hoek beginnen, lezen we de sinus af op D, waarvan de getallen ook zwart zijn afgedrukt en lezen we de cosinus af op de P-schaal, waarvan de waarden in het rood zijn afgedrukt. Als we echter de berekening met een rode waarde beginnen, vinden we de sinus van die hoek op de rode P-schaal en de cosinus op de zwarte D. Bij het bepalen van de sinus van een hoek treedt dus geen kleurwisseling bij het aflezen op; bij het bepalen van de cosinus van een hoek treedt juist wel kleurwisseling op.

LL0, LL1, LL2 en LL3

De dubbellog-schalen vinden we op de linialen van het Darmstadttype en de hybride Rietz-Darmstadt-linialen. LL0 tot en met LL3 worden de positieve LL-schalen genoemd. Als x een getal op D is, is y = e^x een getal op LL3. Er geldt dus omgekeerd: x = ln(y). Omdat x = 10^l, wordt het verband tussen L en LL3 gegeven door l = log ln(y). Aan deze formule ontlenen de LL-schalen hun naam. Gewoonlijk wordt in dit verband het natuurlijke grondtal e (getal van Euler = 2,718…) toegepast, maar er bestaan ook rekenlinialen met LL-schalen waar een ander grondtal wordt gebruikt. In verband met natuurwetenschap en techniek ligt echter het getal e als grondtal het meest voor de hand.

Als x een getal op D is, zijn e^0,001x, e^0,01x en e^0,1x de aanduidingen van respectievelijk LL0, LL1 en LL2. De schaal LL3 wordt aangeduid met e^x. Hoewel deze vier schalen op de rekenliniaal boven elkaar liggen, kunnen we de LL-schalen in elkaars verlengde denken. Hierbij vertrekken de LL-schalen dicht bij 1 en lopen zij in de richting van het oneindige.

Het berekenen van een e-macht met een positieve exponent vereist niet meer dan het correct aflezen van de e-macht op de juiste LL-schaal. Ook het bepalen van de natuurlijke logaritme van een getal (groter dan 1) op een LL-schaal is eenvoudig. Afhankelijk van de toegepaste LL-schaal moet het getal op D nog worden vermenigvuldigd met of gedeeld door 1000, 100 of 10.

Willekeurige machten kunnen worden uitgerekend door toepassing van de formule: ${{g}^{a}}=\exp \left( a\ln g \right)$, waarbij exp een exponent van e voorstelt. Als we bijvoorbeeld 1,75^3,45 willen uitrekenen, berekenen we exp(3,45∙ln(1,75). We starten met 1,75 op LL2. Op D vinden we dan de natuurlijke logaritme van 1,75, namelijk 0,560, maar die lezen we niet af. Merk op, dat we de decade op D hier interpreteren als het getalleninterval 0,1 tot 1 en niet als de getallen 1 tot 10!. Het getal 0,560 op D vermenigvuldigen we op de gebruikelijke wijze met 3,45. Het product 1,93 ligt echter rechts buiten LL2. Omdat de schalen achter elkaar liggen, ligt het product in feite op LL3, daarom schuiven we de tong geheel naar links, zetten we 10 van D boven 0,560 en vinden 1,93 op D. Onder de loperstreep vinden we op LL3 het gevraagde getal 6,89.

Ook het trekken van een willekeurige machtswortel uit een getal groter dan 1 kan zo worden uitgevoerd. Als bijvoorbeeld de 5e machtswortel uit 20 moet worden getrokken bedenken we dat exp(1/5 ln(20)) moet worden berekend. Op LL3 vinden we het getal 20, op D vinden we ln(20) = 3,00. Op de gebruikelijke wijze wordt deze waarde gedeeld door 5. We vinden dan 0,6 op D en vervolgens het antwoord 1,82 op LL2.

LL00, LL01, LL02 en LL03

Als x een getal op D is, is y = e^-x een getal op LL03. e^-0,001x, e^-0,01x en e^-0,1x zijn de aanduidingen van respectievelijk LL00, LL01 en LL02. Hoewel deze vier schalen op de rekenliniaal boven elkaar liggen, kunnen we ook deze LL-schalen in elkaars verlengde denken. Hierbij vertrekken de LL-schalen dicht bij 1 en lopen zij in de richting van nul. De getallen op dit viertal LL-schalen nemen van rechts naar links in grootte toe, vandaar dat de getallen op deze schalen in het rood zijn afgedrukt. Bovendien zijn deze schalen de omgekeerden van LL0 tot en met LL3.

Het berekenen van een e-macht met een negatieve exponent vereist niet meer dan het correct aflezen van de e-macht op de juiste LL-schaal. Ook het bepalen van de natuurlijke logaritme van een getal (groter dan 0, maar kleiner dan 1) op een LL-schaal is eenvoudig. Hierbij moet worden bedacht dat de natuurlijke logaritme in dat geval negatief is. Afhankelijk van de toegepaste LL-schaal moet het getal op D nog worden vermenigvuldigd met of gedeeld door 1000, 100 of 10.

Het rekenen met willekeurige machten met grondtal; tussen 0 en 1 gaat op dezelfde wijze is zijn werk als bij de positieve LL-schalen. Een voorbeeld ter verduidelijking. We berekenen 0,75⁵. We vinden ln(0,75) = -0,288 op D. Het minteken voegen we zelf toe. De getallen van D worden hier opgevat als de decade van 0,1 tot 1. Het getal -0,288 vermenigvuldigen we met 5 en vinden -1,44 op D. Hiervoor hebben we de tong helemaal naar links moeten schuiven, waardoor we de overgang van LL02 naar LL03 hebben bewerkstelligt. Op LL03 lezen we het resultaat af: 0,237.

Als het grondtal groter is dan 1 maar de exponent negatief maken we ook gebruik van een negatieve LL-schaal. We berekenen als voorbeeld 3,25^-4,75. Met behulp van de positieve LL-schalen berekenen we 3,25^4,75 = 270. Dit resultaat lezen we af op LL3. Nu is LL03 de omgekeerde van LL3, zodat we op LL03 de gevraagde waarde kunnen aflezen: 3,70·10^-3.

Sh, Ch en Th

Schalen voor de hyperbolische functies komen maar op een klein aantal rekenlinialen voor. Het aantal toepassingen van hyperbolische functies buiten de wiskunde is niet groot. De meest bekende toepassing vinden we in de kettinglijn. Ook in de elektrotechniek, met name in de wisselstroomtheorie en de theorie van transmissielijnen, worden hyperbolische functies gebruikt.

Opvallend is dat - gerekend vanaf de basisschaal D - de schalen Sh, Ch en Th op rekenlinalen in feite de schalen zijn van de invers-hyperbolische functies arsinh, arcosh en artanh. Deze worden op de hedendaagse rekenmachines gewoonlijk aangeduid met de -1 notatie: sinh^-1(x), enzovoorts.

Externe links

• Nederlandse Kring van Verzamelaars van Rekenlinialen
• The Oughtred Society
• Kring Historische Rekeninstrumenten
• International Slide Rule Museum

Mediabestanden

Zie de categorie Slide rule van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.